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Vierter Abschnitt. § 5. 
aber bereits gesehen, dafs diese Forderung immer erfüllt wird, 
wenn man jedem Wertsystem (x 0 , x x .. .x n ) einen einzigen Punkt 
zuordnet. Jede Bewegung wird dann durch Gleichungen: 
(10) yi = c/i (xo, x x ... x„) (i = 0, 1 ... n) 
bestimmt. Wir haben zu untersuchen, ob dieselbe Bedingung 
auch befriedigt werden kann, wenn man einem Punkte verschie 
dene Koordinatenwerte beilegt. Wenn aber derselbe Punkt sowohl 
durch die Koordinaten (x 0 , Xi ...x n ), wie durch (x n ', xx'...x n ') 
bestimmt wird, so mufs sich auch durch die Gleichungen 
yf =iPi( x o , J x/.. .Xn') 
jedesmal ein Punkt (y 0 ', yi'...y n ') ergeben, welcher mit dem 
Punkte (y 0 , yi ... y n ) zusammenfällt. Speziell betrachte man alle 
diejenigen Bewegungen, bei denen ein fest gewählter Punkt in 
Ruhe bleibt. Wenn die Koordinaten des ruhenden Punktes sind 
(x 0 ', Xi',..x n '), so mufs für die entsprechenden Bewegungs 
gleichungen sein: 
(11) Xi' = (fi (x 0 ', Xx' ... x n ') (i = 0, 1,... n). 
Nun möge derselbe Punkt auch durch x 0 ", x l ",..x„" dar 
gestellt werden; dann werden alle Bewegungsgleichungen, welche 
der Bedingung (11) genügen, auch befriedigt werden für 
Xi" = Xi". .. X„ ). 
Das ist aber sowohl für k 2 — CO wie für k 2 <C0 unmöglich. 
Legt man z. B. für k 2 ~ 00 und für zwei Dimensionen die 
Gleichungen zu Grunde: 
yi = (xi — ax) cos (p — (x 2 — a 2 ) sin <p a t 
y 2 = (xx — ax) sin cp + (x 2 — a 2 ) cos (p -f a 2 , 
so wird hierdurch eine Bewegung bestimmt. Soll in diesen 
Gleichungen y 1 — x x , y 2 = x 2 sein, so mufs für cos cp <0 1 not 
wendig Xi ==ai, x 2 = a 2 sein. Ebenso kann man bei drei Dimen 
sionen zwei Bewegungen durch die Gleichungen charakterisieren: 
yi === x 1 
y 2 = (x 2 — a 2 ) cos (p ~ (x 3 — a 3 ) sin (p -f- a 2 
Ja = (x 2 — a 2 ) sin </> + (x 3 — a 3 ) cos <p + a 3 
und durch: 
Zi = (xi — ax) cos ip — (x 3 — a 3 ) sin ip + aj, 
z 2 =x 2 
z 3 = (x x — ax) sin ip + (x 3 — a 3 ) cos ip + a 3 .