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Vierter Abschnitt, § 6. 
Weise dem zweiten Körper vermittelte Bewegung ist nur in den 
vier genannten Raumformen von den die Verbindung herbei 
führenden Körpern unabhängig.« 
§ e. 
Über die Bestimmung der Clifford - Kleinschen Raumformen 
auf analytischem Wege. 
Nachdem uns der vorige Paragraph alle diejenigen Raum 
formen geliefert hat, welche als Ganze, wie wir uns kurz aus- 
drücken, alle Bewegungen eines starren Körpers ausführen können, 
wollen wir jetzt zu denjenigen Raumformen übergehen, bei denen 
dies nicht möglich ist, oder bei denen einer Bewegung eines 
festen Körpers für einen zweiten Körper verschiedene Bewegungen 
zugeordnet werden können, je nach der Verbindung, welche man 
zwischen den beiden Körpern herstellt. Diese Raumformen, von 
denen eine bereits von Clifford kurz erwähnt war, während Herr 
Klein ihre Berechtigung zuerst allgemein bewiesen hat, mögen 
als Clifford - Kleinsche bezeichnet werden. 39 ) Wir wollen ver 
suchen, ein analytisches Problem aufzustellen, dessen Lösung uns 
alle diese Raumformen liefert. Dabei wird die Berechtigung der 
neuen Raumformen wieder deutlich hervortreten. 
Wir gehen zu den Entwicklungen des vorigen Paragraphen 
zurück. Für ein gewisses Gebiet, das allseitig begrenzt ist, läfst 
man alle Voraussetzungen Euklids bestehen; man beweist für einen 
solchen Bereich die Gültigkeit der trigonometrischen Formeln und 
gründet darauf ein Weierstrafssches Koordinatensystem. Alsdann 
erweitert man das Gebiet unbegrenzt und zeigt, dafs man auch 
den neu gewonnenen Punkten Koordinaten x 0 , Xi . .. x n zuordnen 
kann, zwischen denen die Beziehung besteht: 
(1) k 2 x 0 2 -f- Xx 2 -\- . -f- x n 2 = k -. 
Umgekehrt ergiebt sich, dafs jedem Wertsystem, das dieser 
Gleichung genügt (und worin für k' 2 < 0 der Wert von x 0 
positiv ist), ein einziger Punkt entspricht. Jeder stetige Übergang 
von einem Wertsystem (x 0 , Xi ... x„) zu einem andern (y ()r 
Yi .. . y n ) stellt auch geometrisch einen Weg dar, der die durch 
die beiden Wertsysteme dargestellten Punkte verbindet. Ver 
mittelt man die Verbindung zwischen zwei Körpern in einer 
Weise, welche dem Übergange der zugehörigen Koordinatenwerte