Die Clifford-Kleinschen Raumformen.
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entspricht, und stellt man irgend eine Bewegung des ersten Körpers
durch Gleichungen dar, so gelten dieselben Gleichungen auch für
die durch die angegebene Verbindung vermittelte Bewegung.
Aus diesen Sätzen, die im vorigen Paragraphen ausführlich
bewiesen sind, folgt schon, dafs nur in den frei beweglichen
Raumformen jedem Punkte ein einziges Wertsystem der Koor
dinaten oder doch nur ein einziges System der Verhältnisse der
n + 1 Gröfsen x 0 , xj,...x n entsprechen kann. Sollen also die
Clifford-Kleinschen Raumformen Berechtigung haben, so mufs es
möglich sein, jedem Punkte verschiedene Werte der Koordinaten
zuzuordnen.
Wir wollen jetzt annehmen, derselbe Punkt werde durch die
Koordinaten (x 0 , xj ...x n ) und (y 0 , yj .. . y n ) dargestellt. Be
schränken wir uns für die Wertsysteme (x 0 , x x . ..x n ) auf einen
Bereich, wie wir ihn immer zu Grunde gelegt haben, so sollen
auch die Werte (y 0 , ji .. .y n ) auf denselben Bereich eingeschränkt
sein. Dabei können wir setzen:
y* — ipx (x 0 , X! . ., x„) für x = 0, 1 .. ,n.
Wird dem Wertsystem x' durch die Gleichungen yx = \fj x (x )
das Wertsystem y' zugeordnet, so mufs der Abstand der Punkte x
und x' derselbe sein, wie der Abstand der Punkte y und y'
Demnach mufs, wie auch die Punkte x und x' in dem ange
nommenen Gebiet gewählt sind, stets die Beziehung bestehen:
k 2 y 0 yo' -f-yiyri + • • .+y„y n ' = k 2 x 0 x 0 ' + x 1 x 1 ' + . . . x n x n '.
Daraus folgt:
(2)
yo — a oo x o + a 0 i x : -{- . . . -J- ao n x n
yi = ‘R o x 0 —f— 3.11 Xi -f- . .. -j- 3-i n x n
yn — 3-no x 0 -f- a nl x t -f- ... -j- a nn x n ,
wo die Koeffizienten den Bedingungen genügen:
k 2 a 0 o 2 “h o 2 H~ • • • ~h ^no 2 = k 2
(3)
k 2 a 0x 2 -f- aix 2 ff- .. .-f‘V 2 = =: 1
k 2 a 00 a 0 x -f-a 10 aiAr -f- a n oa n Ar
k 2 a 0 x ao A -|- ai xai / -R • • • ri - a nxa n A
0
0
für x, X = 1 ... n, / V-x.
Das sind dieselben Beziehungen, welche iür die Umwandlung
eines rechtwinkligen Koordinatensystems in ein anderes recht
winkliges bestehen.
