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Vierter Abschnitt. § 6. 
kann. Betrachten wir aber die Wertsysteme (x 0 ... x^) als Koor 
dinaten für eine frei bewegliche Raumform, so ist die letztere eine 
Euklidische oder Lobatschewskysche oder Riemannsche, Hierbei 
entspricht jedem Punkte der Clifford - Kleinschen Raumform ein 
einziger Punkt des frei beweglichen Raumes; die erstere ist also 
auf die letztere abgebildet. Dabei bleiben alle Längen und Winkel, 
und hiermit die Gröfsen von Flächen und Körpern ungeändert, 
genau in dem Sinne, wie dies für die Abwicklung eines Cylinder- 
mantels auf eine Ebene gilt. Wir können daher eine solche 
Abbildung wieder eine Abwicklung nennen, wofern wir bei diesem 
Ausdruck von dem darin liegenden geometrischen Begriffe absehen 
und nur den Charakter der Abbildung kurz ausdrücken wollen. 
Es besteht also der Satz: 
»Jede Clifford-Kleinsche Raumform läfst sich entweder auf 
eine Euklidische oder auf eine Lobatschewskysche oder eine 
Riemannsche Raumform so abbilden, dafs alle Gröfsenbeziehungen 
ungeändert bleiben.« 
Wenn jetzt einem Punkte A einer Clifford-Kleinschen Raum 
form zwei verschiedene Punkte A 0 und Aj und ebenso einem 
Punkte B der ersteren zwei Punkte B 0 und B t einer frei beweg 
lichen Raumform zugeordnet sind, und wenn jedes der beiden 
Punktepaare A 0 B 0 und A^ in einem Gebiete liegt, das eindeutig 
auf die erste Raumform abgebildet werden kann, so mufs der 
Abstand der Punkte A und B gleich sein sowohl dem Abstand 
der Punkte A„ und B () wie dem der Punkte At und B t . Hat 
also der Punkt A 0 die Koordinaten x, der Punkt B 0 die Koor 
dinaten x', während zu den Punkten Aj und Bi die Koordinaten 
y und y' gehören, so mufs die Transformation, durch welche 
die Wertsysteme x in y, x' in y' übergehen, den Bedingungen 
(2) und (3) genügen. Nun denke man in der frei beweglichen 
Raumform zwei Körper Kj und K 2 so gewählt, dafs sie dem 
selben Körper K' im Clifford-Kleinschen Raume entsprechen, so 
werden sie durch die angegebene Transformation in einander 
übergehen. Also sind die beiden Körper K x und K 2 kongruent, 
oder zwischen den Koeffizienten at* besteht die Beziehung (4). 
Wieder mögen bei der vorgenommenen Abbildung einem 
Punkte A der Clifford - Kleinschen Raumform die beiden Punkte 
A 0 und A, der frei beweglichen entsprechen. Durch die Punkte