Die Cliftord-Kleinschen Raumformen. 
321 
A 0 und Ai läist sich eine gerade Linie legen. Man erhält also 
in der abgebildeten Raumform eine geradlinige Strecke, die vom 
Punkte A ausgeht und wieder in ihn zurückkehrt. Nun ist die 
Beziehung zwischen den Punkten der beiden Raumformen ein 
deutig, so lange man in dem ursprünglich angenommenen Gebiete 
bleibt. Es darf demnach nicht möglich sein, die obige Strecke in ein 
solches Gebiet zu legen; ihre- Länge mufs also gröfser sein, als 
irgend eine in diesem Bereiche gezogene gerade Strecke. Jst 
A¡i irgend ein Punkt, der neben A n dem Punkte A entspricht, 
so darf^. wofern nicht A u mit A 0 zusammenfällt, die Länge von 
A 0 An nicht unter eine gewisse Grenze sinken. Wenn aber die 
Punkte A 0 und A« identisch sind, ohne dafs jedem in der Um 
gebung gelegenen Punkt B 0 ein mit ihm zusammenfallender Punkt 
B^ entspricht, so kann man diesen Punkt so wählen, dafs die 
Strecke BoB^ beliebig klein wird. Demnach darf weder bei der 
gegebenen Transformation noch bei jeder aus ihr durch Wieder 
holung gewonnenen ein Punkt ungeändert bleiben; auch darf der 
Abstand zwischen zwei zusammengehörigen Punkten nicht be 
liebig klein werden. Natürlich unterliegt es keinem Bedenken, 
dafs sich durch Wiederholung einer Transformation die iden 
tische Transformation ergiebt, bei der jeder Punkt ungeändert 
bleibt. 
Eine Transformation der Form (2), durch die das Zusammen 
fallen von Punkten bestimmt wird, möge mit S bezeichnet werden. 
Aus dieser Substitution erhält man durch (m — 1)-malige Wieder 
holung eine Substitution S m , und zu dieser reziprok sei die Sub 
stitution S _tn . Nun kann der Fall eintreten, dafs aufser der Sub 
stitution S und den daraus abgeleiteten S‘ u eine neue Substitution 
T eine Beziehung zwischen Koordinatenwerten angiebt, die zu 
demselben Punkte gehören. Dann gilt dasselbe von jeder durch 
Wiederholung von T erlangten Substitution, sowie von jeder^ 
die man durch beliebig oft wiederholte Verbindung der beiden 
Substitutionen erhält, also für 
(9) ...T^T^S«, 
bei ganzzahligen Werten von «, ß, y, d. Umgekehrt, wenn S 
und T beides Substitutionen der Form (2) mit den Bedingungen 
(3) und (4) sind und wenn bei keiner Substitution (9) die durch 
die Gleichung (7) bestimmte Gröfse e unter eine gewisse feste 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
21