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Vierter Abschnitt. § 6. 
Grenze sinkt, so wird durch diese beiden Substitutionen eine 
gewisse Clifford-Kleinsche Raumform definiert. 
In ähnlicher Weise kann man bei drei und mehr Substitu 
tionen verfahren. Man kann aber auch, was auf dasselbe hinaus 
kommt, in den Gleichungen (2) die Koeffizienten a*x, welche 
den Bedingungen (3) und (4) genügen, von r ganzen Zahlen 
... fi T abhängig machen, in dem Sinne, dafs man jedesmal 
eine Substitution der bezeichneten Art erhält, wenn man in die 
Gleichungen: 
y* — ipx (x 0 x 1 . .. x n ; fx x ... //, ) 
für beliebige ganze Zahlen einsetzt. Verbindet man 
zwei solche Transformationen mit einander, so mufs man eine 
Transformation erhalten, welche sich von den frühem nur dadurch 
unterscheidet, dafs an Stelle von ¡jl x ... fi r andere ganze Zahlen 
gewählt sind; d. h. wenn ist 
y* = U>y. (x„, X! . .. x n ; .«! . . . fir) 
zx = *px (y 0 j yi • • • y n ; Ih' • • • Pr') 5 
(x=0, 1... n) 
und wenn man in die letzten Gleichungen die aus den ersten 
folgenden Werte für y 0 ..,y n einsetzt, so mufs man die n -f- 1 
Gleichungen erhalten: 
Zx = ipx (x 0 , Xj . . . x„; /V • • • ßr), 
wo die ganzen Zahlen fi x "... fi T " sich aus t u x ... und /V...^ r 
bestimmen lassen. Eine solche Schar von Transformationen, 
welche ein geschlossenes System bilden, heifst eine Gruppe, und 
zwar, da zwischen den Transformationen kein stetiger Übergang 
besteht, eine diskontinuierliche Gruppe. Jetzt müssen alle Trans 
formationen der Gruppe den Bedingungen (2), (3) und (4) 
genügen; zugleich darf die durch die Gleichung (7) definierte 
Gröfse e nicht unter eine gewisse Gröfse sinken. Demnach ist 
das Problem, alle in Betracht kommenden Raumformen aufzu 
finden, auf folgende analytische Aufgabe zurückgeführt: 
»Man suche alle diskontinuierlichen r-gliedrigen Gruppen 
von Transformationen der Form (2), welche den Bedingungen 
(3) und (4) genügen und zudem die weitere Forderung erfüllen, 
dafs mit Ausschlufs der identischen Transformation keine Trans 
formation der Gruppe ein Wertsystem an sein transformiertes 
beliebig nahe heranbringt.«