Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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. Den Radius 
n Mittelpunkt 
die Gleichung 
i willkürlichen 
;n, setzen wir 
— c 2 = -1. 
"c" — bc — 0. 
Soll hier der 
mern gebracht 
, und hieraus 
len. 
iden, so mufs 
erbindung der 
y 2 = 1 erhält, 
en haben; es 
, und da man 
i darf, ist es 
. man dieselbe 
einer zweiten 
eiden Geraden 
t: 
rmt man die 
p' — 0 durch 
e angegebenen 
i' -f- nn' — pp 
os (f, wenn p 
Igemein. 
x-Achse den 
>e Gerade mit 
= n. Nun ist 
;ndes p immer 
: und ß beides 
spitze Winkel sind, cos cos i - — ß J oder « <7 - —ß, somit 
die Winkelsumme in diesem Dreieck kleiner als zwei Rechte. 
Somit haben wir hier eine Anschauung gewonnen, welche 
mit den geometrischen Begriffen vereinbar ist, aber die Parallelen 
theorie keineswegs nach sich zieht. Diese Anschauung kann aber 
auch auf den Raum übertragen werden. Man transformiere das 
Innere einer Kugel in der Weise durch projektive Umgestaltungen, 
dafs die begrenzende Fläche immer in sich verbleibt. Dann geht 
jede Ebene wieder in eine Ebene, jede Gerade wieder in eine 
Gerade über. Der Abstand zweier Punkte und der Winkel zweier 
Ebenen und zweier schneidenden Geraden werden entsprechend 
den obigen Festsetzungen definiert. Die jetzt erhaltenen Resultate 
entsprechen genau den für die Ebene gefundenen, und in den 
Beweisen tritt auch keine Änderung ein. 7 ) 
§ 8- 
Beziehung der Parallelentheorie zur Erfahrung. 
Nachdem wir bewiesen haben, dafs das fünfte Postulat Euklids 
keine Folgerung aus seinen übrigen Voraussetzungen bildet, müssen 
wir die Frage stellen, ob dasselbe nicht wenigstens von der Er 
fahrung verlangt wird. Darüber kann allerdings kein Zweifel 
herrschen, dafs dies Axiom sowie alle Folgerungen aus demselben 
aufs schönste mit der Erfahrung übereinstimmen, und es dürfte 
für die Anwendungen auf Astronomie und Physik meines Erachtens 
nicht das geringste Bedürfnis vorliegen, die Berechtigung noch 
eigens zu prüfen. Damit ist aber die Mathematik der hier ge 
stellten Aufgabe nicht überhoben. 
Zunächst könnte man eine direkte Prüfung versuchen. Wenn 
uns eine Gerade AB und aufserhalb derselben ein Punkt P gegeben 
ist, so fällen wir von P auf AB die Senkrechte PQ und errichten 
in P auf PQ die Senkrechte MN. Jetzt ziehe man von P nach 
einem Punkte D von QA die QD, und lege den Winkel PDQ als 
Wechselwinkel in P an PQ an. Fällt der zweite Schenkel genau 
mit PM zusammen, so ist damit ein direkter Beweis erbracht. 
Aber jeder noch so feine Strich mit dem Bleistift ist keine wirk 
liche Linie, sondern bedeckt einen Teil der Fläche. Zudem steht 
uns keine wirkliche Ebene für die Zeichnung zu Gebote; was 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I, 2