Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Indem man wieder auf die mehrfach erwähnte Abbildung 
zurückgeht, kann man das Problem auch in folgender Weise aus 
sprechen: 
Man ordne jedem Punkte einer Euklidischen, Lobatschew- 
skyschen oder Riemannschen Raumform einen Punkt zu durch 
eine Transformation, welche den Bedingungen einer starren Be 
wegung genügt. Die Koeffizienten in dieser Transformation 
mache man abhängig von r ganzen Zahlen ... ( u r , so dafs 
durch jede Zusammenstellung eine einzige Substitution bestimmt 
ist Verbindet man zwei beliebige derartige Substitutionen mit 
einander, so mufs man wieder eine Substitution der Schar erhalten. 
Wenn bei der durch die Marken fx x . .. ,u r bezeichneten Substi 
tution dem Punkte x der Punkt x*'“ 1 -"'“ 1 ’) entspricht, so darf der 
Punkt x (aufser bei der identischen Substitution) niemals mit dem 
Punkte x^ 1 •• zusammenfallen; es darf aber auch der Abstand 
von zwei solchen Punkten nicht beliebig klein werden. 
Auf dies analytische Problem ist jetzt die Aufgabe zurück 
geführt, alle Clifford-Kleinschen Raumformen zu bestimmen. 
Dabei ist jedoch stillschweigend vorausgesetzt, dafs die Rückkehr 
für den Körper als Ganzes stattfinden müsse und sich nicht auf 
ein demselben angehörendes Grenzgebilde beschränken könne. 
Indem wir wieder von dem im vorigen Paragraphen bewiesenen 
Satze Gebrauch machen, dafs zu jedem Wertsystem (x 0 , X!...x n ) 
ein Punkt gehört, haben wir die beiden Fragen zu beantworten: 
1. Ist es möglich, dafs im allgemeinen zu verschiedenen 
Koordinatenwerten auch jedesmal verschiedene Punkte gehören, 
dafs aber doch derselbe Punkt durch ungleiche Koordinatenwerte 
bezeichnet wird, wofern zwischen den Koordinaten gewisse Re 
lationen bestehen? 
2. Wenn eine (diskontinuierliche) Gruppe von Transforma 
tionen das Zusammenfallen von Punkten bezeichnet, können 
dann nicht für gewisse Mannigfaltigkeiten von einer geringeren 
Zahl von Dimensionen noch andere Beziehungen hinzutreten, 
bei deren Erfüllung die Punkte ebenfalls als identisch zu be 
trachten sind? 
Die Antwort auf diese beiden Fragen werden wir sofort 
geben können, wenn wir auf die Beispiele von Cylinderflächen 
blicken, welche wir am Schlufs von § 1 angeführt haben. Dort 
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