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Vierter Abschnitt. § 6. 
wählten wir einmal die Leitlinie so, dafs sie ins Unendliche ver 
läuft, aber zugleich Doppelpunkte besitzt. Die hierdurch erhaltene 
Fläche durfte aber ebenfalls als Raumform betrachtet werden. Es 
kommt dies darauf hinaus anzunehmen, dafs für Cartesische Koor 
dinaten der Punkt (x = a, y) mit dem Punkte (x = — a, y) für 
jeden Wert von y zusammenfällt, während für einen von ±a 
verschiedenen Wert von x jedesmal durch ungleiche Wertsysteme 
(x, y) und (x', y ) auch verschiedene Punkte bezeichnet werden. 
Dies Beispiel ist aber ganz speziell; man kann ebenso gut auch 
eine gröfsere Zahl von Geraden als zusammenfallend betrachten. 
Diese Zahl kann sogar unendlich grofs gewählt werden; als ein 
fachstes Beispiel setzen wir fest, das für jedes ganzzahlige [i die 
Gerade x = ,aa mit der Geraden x — — ,ua identisch sein soll. 
Es ist nicht schwer, weitere Beispiele zu bilden, wenn die 
selben auch nicht durch Flächen zur Anschauung gebracht werden 
können. So können wir annehmen, die Gerade x = a sei mit 
der Geraden x = — a identisch, es falle aber der Punkt (a, y) 
mit dem Punkte (—a, —y) für jeden Wert von y zusammen. 
Endlich möge ein Winkel « so gewählt sein, dafs er mit n 
inkommensurabel ist. Zudem sollen a und c irgend zwei feste 
Längen bezeichnen und t u soll der Reihe nach alle ganzzahligen 
Werte annehmen. Dann möge die Gerade x = c tg ,«« mit der 
Geraden x =—c tg^a zusammenfallen und zwar soll der Punkt 
(—ctg,««, y) mit dem Punkte (c tg /*«, y -j- /ta) identisch sein. 
In diesem Falle erhalten wir unendlich viele geschlossene Gerade, 
von denen keine zwei zusammenfallen und welche die Längen 
a, 2a, 3a... besitzen. 
Das sind Beispiele von zweidimensionalen Raumformen, bei 
denen im allgemeinen keine zwei Punkte mit ungleichen Koor 
dinaten zusammenfallen, sondern das Zusammenfallen auf einzelne 
Linien, (deren Zahl allerdings unendlich grofs sein kann), beschränkt 
ist. Die Cylinderfläche, deren Leitlinie eine Lemniskate oder 
überhaupt eine geschlossene, sich selbst durchschneidende Kurve 
ist, läfst uns aber erkennen, dafs neben den allgemeinen Be 
ziehungen, durch welche das Zusammenfallen von Punkten be 
zeichnet wird, für einzelne Gebilde noch spezielle Beziehungen 
bestehen können, bei deren Erfüllung bereits ein früheres Zusammen 
fallen eintritt. Nehmen wir z. B. an, dafs für alle Werte von