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Vierter Abschnitt. § 6. 
Dann darf für kein endliches Wertepaar x' — x, V — y sein. 
Demnach dürfen die Gleichungen: 
(1 — cos «) -{- y sin « = a 
— x sin u -f- y (1 — cos «) — b 
durch kein Wertepaar befriedigt werden. Da aber die Deter 
minante aus den Koeffizienten von x und y, gleich: 
(1 — cos «) 2 -f- sin 2 a — 2 — 2 cos « 
nur verschwindet, wenn cos a= 1, also sin « = 0 ist, so müssen 
die Transformationsgleichungen sein: 
(1) x' = x +a, y' = y + b. 
Dann ist die im vorigen Paragraphen eingeführte Gröfse e = 
} / a 2 -}-b 2 , also stets endlich. Diese Gröfse e wird aber nur mit 
einer ganzen Zahl multipliziert, wenn man die Transformation 
mehrmals wiederholt. Somit genügt jede Transformation von 
der Form (1) den angegebenen Bedingungen. 
Läfst man nur eine derartige Transformation zu, so erhält 
man diejenige Raumform, welche wir am Schlufs des ersten und 
im Anfänge des zweiten Paragraphen betrachtet haben; die Raum 
form kann durch einen Cylinder dargestellt werden. 
Wir fügen eine zweite Transformation 
x" = x + a', y" = y + b' 
hinzu und beweisen, dafs hier nicht die Beziehung bestehen darf: 
a b 
a' b' 
Bestände diese Beziehung, so wären zwei Fälle möglich: 
entweder wäre das Verhältnis rational oder irrational. Im ersten 
Falle möge es durch den Bruch - angegeben werden, wo ft und 
v keinen gemeinschaftlichen Faktor haben. Dann kann man zwei 
ganze Zahlen p und q so bestimmen, dafs «p — rq = 1 ist. 
Macht man also die erste Transformation p - mal und die zur 
zweiten reziproke q-mal, so geht der Punkt (x, y) über in 
(x -f- pa — qa', y -R pb — qb'), oder wenn man 
a = /.ta 0 , a' = ra 0 , b = ,ub 0 , b' = rb 0 
setzt, in (x 4- a 0 , y —[— b 0 ). Wiederholt man aber diese neue 
Transformation (,«— l)-mal, so erhält man die erste, und durch 
(r — l)-malige Wiederholung die zweite Transformation. Folglich