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Erster Abschnitt. § 8. 
wir als Ebene benutzen, ist im besten Falle ein Teil einer Kugel- 
fläche. Somit kann ein Versuch der bezeichneten Art niemals 
eine volle Entscheidung liefern. 
Zweitens könnte man versuchen, einen Satz, der mit dem 
Parallelaxiom steht oder fällt, durch die Erfahrung zu prüfen. 
Hierfür eignet sich am besten der Satz, dais die Winkelsumme 
eines Dreiecks zwei Rechte beträgt. Um aber diese Messungen 
direkt vornehmen zu können, ohne sich wiederum bereits auf 
Sätze der Geometrie zu stützen, die aus dem Parallelaxiom fliefsen, 
darf man nur drei Punkte auf der Erde hierfür wählen. [So kann 
ich das von Lobatschewsky eingeschlagene Verfahren (man ver 
gleiche: Frischauf, absolute Geometrie S. 137, 138) nicht für 
streng halten.] Eine derartige Messung ist z. B. für das Dreieck: 
Inselsberg, Brocken, hoher Hagen, ausgeführt und hat auf zwei 
rechte Winkel geführt. Aber keine unserer Messungen ist absolut 
genau, und deshalb können wir nur gewisse Grenzen angeben, 
zwischen denen die Fehler liegen. Somit ist nur die angenäherte, 
aber nicht die absolute Richtigkeit des Satzes erwiesen. 
Endlich giebt es noch eine dritte Art der Prüfung. Man 
nimmt an, das Parallelaxiom sei unrichtig, und prüft, ob alle 
Folgerungen, welche aus dieser Annahme hervorgehen, mit der 
Erfahrung vereinbar sind. Ehe wir eine solche Prüfung vornehmen 
können, müssen wir diese Folgerungen erst ziehen. Zu dieser 
Aufgabe gehen wif jetzt über. Wenn wir aber dann die Über 
einstimmung mit der Erfahrung prüfen wollen, so müssen wir 
wohl beachten, dafs der Geist unwillkürlich bereit ist, die durch 
direkte Erfahrung gewonnenen Anschauungen, für welche immer 
nur ein ganz kleines Gebiet zur Verfügung steht, zu verallgemeinern 
und als allgemein gültig anzusehen. Nun wird sich allerdings 
zeigen, dafs, wenn das Parallelaxiom ausgeschlossen ist, in gröfseren 
Entfernungen mehrfach andere Gesetze gelten, als der aus kleinen 
Gebieten gewonnenen Anschauung entsprechen. Namentlich möchte 
ich von vorn herein bemerken, dafs es häufig schwer ist, die 
neuen Sätze durch eine Figur zu erläutern, die naturgemäfs auf 
einen kleinen Raum beschränkt werden mufs.