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Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
Drehung um eine Gerade, die zweite in einer blofseri Drehung 
um eine Gerade, die dritte in einer Parallelverschiebung. Die 
erste Bewegung ist die allgemeine; aus ihr wird die zweite er 
halten, wenn man die Verschiebung, und die dritte, wenn man 
die Drehung verschwinden läfst. Die Drehung um eine Gerade 
kann offenbar nicht das Zusammenfallen von Punkten in einer 
Clifford-Kleinschen Raumform bezeichnen, da hier alle Punkte 
einer Geraden sich selbst entsprechen und in deren Umgebung 
ein geradliniger Weg von jeder beliebigen Kleinheit wieder in 
die Anfangslage zurückführen würde. Dagegen genügen die beiden 
andern Bewegungen allen Anforderungen, welche wir in § 6 
aufgestellt haben. 
Die Parallelverschiebung ist in § 3 bereits untersucht worden; 
es wird nicht nötig sein, den dort angestellten Untersuchungen 
etwas weiteres hinzuzufügen. 
Eine weitere Klasse von Raumformen wird dadurch definiert, 
dafs jeder Punkt in seine Anfangslage zurückkehrt, wenn man 
eine Verschiebung längs einer Geraden ausführt und diese mit 
einer Drehung um dieselbe Gerade verbindet. Nur die Umkehr 
und die Wiederholung dieser Operation soll das Zusammenfallen 
von Punkten bezeichnen; dagegen soll keine andere gleichförmige 
Bewegung imstande sein, einen Körper in seine Anfangslage zu 
bringen, mit der selbstverständlichen Ausnahme einer vollen 
Umdrehung um eine Gerade. Unter dieser Voraussetzung hat 
der Punkt (x, y, z) auch die Koordinaten 
(1) x -f- fia, y cos fid — z sin ficc, y sin aa -f- z cos fia 
für jedes ganzzahlige wo a und a festgewählte Gröfsen sind. 
Um eine gerade Linie analytisch darzustellen, wähle man 
einen Punkt (£, £) beliebig, dann drei Gröfsen p, q, r, zwischen 
denen die Beziehung besteht: 
(2) p 2 —f- q - r 2 = 1, 
lasse A alle reellen Werte durchlaufen und setze: 
(3) x = g + pA, y = r ; + qA, z = £ + rA. 
Wenn die Gerade durch den Punkt (£, »y, £) nochmals hindurch 
geht, so müssen die Gleichungen (3) erfüllt werden, wenn man 
statt x, y, z einsetzt 
£ + r J cos / ,a — £ sin /«<*, ry sin ficc-j- £ cos ficc. 
Dann mufs sein: