Die Clifford-Kleinschen Raumlormen. 
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dar. Ist also die Richtung einer Geraden bestimmt, so kann der 
Punkt (g, rj, g), durch welchen eine solche Gerade zweimal hin 
durchgeht, nur in einer Ebene liegen, deren Gleichung aus (6) 
dadurch erhalten wird, dafs man für ,u die Werte ±1, ±2, ± 3 ... 
der Reihe nach einsetzt. Alle diese Ebenen sind unter einander 
und zu der Geraden y = z = 0 parallel. Sobald festgesetzt ist, 
in welcher von diesen Ebenen der Punkt liegt, ist ,« und damit 
A' bestimmt. Dann liefern die Gleichungen (4) im allgemeinen 
nur einen einzigen Wert von und g. Die vorstehenden Er 
wägungen lassen sich aber nicht anstellen, wenn q = r = 0 ist, 
weil dann die Gleichung (6) identisch erfüllt wird. Für p = 1 
wird aber kein endlicher Wert von rj und g der Gleichung (6) 
genügen; jede Gerade also, welche mit der ausgezeichneten Ge 
raden einen rechten Winkel bildet, mag sie von ihr geschnitten 
werden oder windschief zu ihr sein, kann nicht in einen früheren 
Punkt zurückkehren. Daraus folgt der Satz: 
»Jede Gerade, welche zu der ausgezeichneten Geraden parallel 
ist, enthält keinen Doppelpunkt; sie ist geschlossen, wenn u 
und n kommensurabel sind. Wenn die Gerade zu der ausge 
zeichneten Geraden unter einem rechten Winkel geneigt ist, so 
verläuft sie beiderseits ins Unendliche, ohne sich zu durchschneiden. 
Dagegen giebt es in jeder andern Richtung Gerade, welche sich 
selbst durchschneiden; wenn die Richtung gegeben ist, so füllen 
die Doppelpunkte eine diskontinuierliche Schar von Geraden an, 
welche zu der ausgezeichneten Geraden parallel sind. Alle Ge 
raden von der gegebenen Richtung, welche keine dieser Geraden 
treffen, sind weder geschlossen noch durchschneiden sie sich.« 
Wir wollen jetzt untersuchen, ob sich nicht eine Gerade 
mehrmals durchschneiden kann, etwa in zwei Punkten (g, rj, g) und 
(g', r/, g'). Zu dem Ende gehen wir von den Gleichungen aus: 
(-■. (s — g)y = 0/ — l/) x +St' — S'i 
v J (S—r)z — (g-S>+S'—!'£• 
Sollen diese zwei Gleichungen auch erfüllt sein für 
x = g —)— ,ua, y — rj cos ficc — g sin fxa, z = rj sin fia -f- g cos t aa y 
so müssen die beiden Gleichungen bestehen: 
(rj — ry')ya = (g — g') \ji (cos fia — l) — g sin ;xa\ 
(S — 5'). wa = — b ) l r J sm 1«« + £ (cos act — 1)].