Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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als die andere; der Verlauf der Linie wird also durch die Figur 40 
angedeutet. 
Die Gleichung (8) 
wird jedesmal be 
friedigt, wenn ¡xa 
und fx'a ungerade 
Vielfache von n sind. 
Dann folgt: 
(9) £=£ + 
a, rj = 
/< 
Zugleich fällt der Wert von fx' ganz aus der Gleichung (7) 
heraus. Ist also fxcc = (2p + \)n für ein ganzzahliges q, und zieht 
man von einem beliebigen Punkt aus eine Gerade, welche für 
diesen Wert von ¡x ein zweitesmal durch diesen Punkt geht, so 
enthält die Gerade auch jeden Punkt (g, r/, g'), welcher sich aus 
(9) für = (2#'+ 1)~ bei ganzzahligem o' ergiebt, und jeder 
solche Punkt ist ebenfalls Doppelpunkt. Jede derartige Gerade 
hat also unendlich viele Doppelpunkte. Setzt man z. B. « = —, 
so kann man J u' = 4(2cf -f- 1) bei ganzzahligem Werte von a setzen. 
Soll die durch die Gleichungen (3) und (4) bestimmte Gerade 
ganz in der Ebene: 
(10) Kx + Ly+Mz = N 
liegen, so müssen die Bedingungen erfüllt sein: 
Kg -j- Lrj -j- Mg = N, 
K,ua -f- L [?; (cos ¡icc — 1) — g sin ¡na] -)- M [rj singa-(-g (cos ga—1)]=0. 
Sobald g, y, g diesen beiden Bedingungen genügen, gehört 
die Gerade der Ebene an. Im allgemeinen wird also jede Ebene 
für jeden Wert von ¡x eine einfach ausgedehnte Schar von 
Geraden mit Doppelpunkten enthalten. Nur für cos ^a = 1 
sin ¡xa = 0 verlangt die zweite Gleichung : K = 0, und dann wird 
jeder Punkt der Ebene Ly Mz = N einer geschlossenen Geraden 
angehören; dagegen wird wiederum jeder Punkt einer gewissen 
Geraden Doppelpunkt für eine in der Ebene enthaltene und einem 
andern Werte von fx entsprechende Gerade sein. Nur für L = M = 0 
können die beiden Gleichungen nicht zugleich erfüllt werden; in 
jeder Ebene, welche auf der ausgezeichneten Geraden senkrecht 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 22