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Vierter Abschnitt. § 8. 
steht, liegen, wie wir bereits oben sahen, nur solche Gerade, 
welche unendlich sind und sich nicht durchschneiden. Die Ebenen 
der vorliegenden Raumform zerfallen also in drei Klassen: a) solche, 
in denen weder geschlossene noch sich schneidende Gerade liegen, 
b) solche, in denen keine geschlossene Gerade enthalten sind, 
und c) solche, in denen Gerade der verschiedensten Art ver 
kommen. Die Ebenen der ersten Klasse stehen auf der ausge 
zeichneten Geraden senkrecht, die der dritten Klasse gehen durch 
dieselbe hindurch oder sind zu ihr parallel; dagegen gehört jede 
Ebene, von welcher die ausgezeichnete Gerade unter einem schiefen 
Winkel geschnitten wird, der zweiten Klasse an. Ist eine solche 
Ebene gegeben, so kann die Zahl /x noch beliebig angenommen 
werden, jedoch mit der Beschränkung, dafs nicht fxa ein Viel 
faches von 2tt ist; die zu jedem ¡i gehörigen Doppelpunkte füllen 
eine gerade Linie an. 
Es darf nicht auffallen, dafs die hier erhaltenen Ebenen zum 
Teil ganz verschieden sind von den zweidimensionalen Raum 
formen, welche wir früher bei verschwindendem Krümmungsmafs 
erhalten haben. Diese Ebenen gehören eben zu den am Schlüsse 
von § 6 charakterisierten Raumformen, welche nur in gesonderten 
Linien, (deren Zahl allerdings unendlich grofs sein kann), wieder 
zusammenstofsen und die wir in § 7 vollständig ausgeschlossen 
haben. 
Auf weitere Untersuchungen, welche für den hier betrach 
teten Raum noch angestellt werden müssen, soll nur hingewiesen 
werden. Dieselben betreffen die Anzahl der Schnittpunkte zweier 
Geraden, die der Schnittlinien zweier Ebenen, die Senkrechten, 
welche von einem Punkte auf eine Ebene oder Gerade gefällt 
werden können u. dgl. Um die Art der Behandlung anzudeuten, 
erinnern wir daran, dafs der Fufspunkt der vom Punkt (g, ry, g) 
auf die Ebene Ax -}- By -j- Gz -f- D = 0 gefällten Senkrechten 
die Koordinaten g — MA, ry — MB, g —MC hat, wenn M = 
Ag -j- Bry -j- Cg -j- D . 
A 2 -j- B 2 -j- C 2 
Setzt man hierin für g, ry, g die aus 
(1) folgenden Werte, so erhält man Punkte, welche im allge 
meinen nicht zusammenfallen. 
Obwohl wir uns nicht die Aufgabe gestellt haben, alle Raum 
formen zu finden, welche in einem endlichen Bereiche den