Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Voraussetzungen Euklids genügen, wollen wir doch noch eine 
weitere Raumform hier beifügen und einige ihrer Eigenschaften 
entwickeln. X, fi, v seien beliebige positive oder negative ganze 
Zahlen mit Einschlufs von null, a, b, c seien drei feste Längen; 
dann soll der Punkt (x, y, z) zusammenfallen mit den Punkten: 
x (— 1) A -{-fia, y (— lj A + rb, z + Xc. 
Läfst man also die Koordinaten bei ganzzahligem X, ¡x, v 
um fia, vh, 2Xc wachsen, so erhält man wieder denselben Punkt. 
Auf diese Weise erhält man, wie in § 3 und entsprechend den 
in § 2 für zwei Dimensionen getroffenen Festsetzungen, von jedem 
Punkte aus unendlich viele, diskontinuierlich gelegene, geschlossene 
gerade Linien. Diese Linien werden im allgemeinen keinen 
Doppelpunkt besitzen. Dagegen kommen auch solche Gerade vor, 
welche bereits für die halbe Länge in sich zurückkehren; unendlich 
viele geschlossene Gerade durchschneiden sich auch selbst, haben 
also in ihrem Verlauf Ähnlichkeit mit der Lemniskate. Endlich 
giebt es Gerade, welche sich in einem Punkte durchschneiden, 
aber von da ab nach beiden Seiten ins Unendliche verlaufen. 
§ y. 
Raumformen von nicht-verschwindender Krümmung. 
Bei Raumformen von konstanter negativer Krümmung 1 :k 2 
wenden wir folgende, allgemein gebräuchliche Ausdrücke an. Wir 
nennen jedes reelle Verhältnis x 0 : x x : x 2 : x 3 einen Punkt, unter 
scheiden aber einen reellen, einen unendlich fernen und einen idealen 
Punkt, jenachdem k 2 x 0 2 -R x i 2 + x 2 2 -j-x 3 2 einen negativen, ver 
schwindenden oder einen positiven Wert hat. Ebenso nennen wir 
jede einfach unendliche lineare Mannigfaltigkeit von Punkten eine 
Gerade; eine solche enthält entweder gar keine reellen und keine 
unendlich fernen Punkte, oder sie enthält aufser einem unendlich 
fernen nur noch ideale Punkte, oder auf ihr liegen alle drei Arten 
von Punkten; eine Gerade der letzten Klasse soll als reelle Gerade 
bezeichnet werden, während wir sagen, eine Gerade der zweiten 
Klasse berührt das Unendlichferne, und während die Gerade der 
ersten Art als ideale Linie bezeichnet wird. Vergleicht man die 
Lage zweier Körper mit einander, so werden bei den entsprechenden 
analytischen Gleichungen im allgemeinen zwei Gerade in sich 
verbleiben, von denen die eine dem reellen, die andere dem