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Vierter Abschnitt. § 9. 
idealen Gebiet angehört. Die gleichförmige Bewegung ist also 
im allgemeinen eine Verschiebung längs einer reellen Geraden, 
verbunden mit einer Drehung um dieselbe Gerade. Ein Spezialfall 
ist eine blofse Drehung, ein anderer eine blofse Verschiebung. 
Dazu tritt noch der Fall, dafs eine Gerade in sich verbleibt, welche 
das unendlich ferne Gebiet berührt. Die allgemeine Bewegung 
entspricht offenbar allen Anforderungen, denen eine Bewegung 
genügen mufs, wenn sie imstande sein soll, einen Körper in seine 
Anfangslage zurückzuführen; dasselbe gilt von der Verschiebung 
längs einer reellen Geraden. Dagegen müssen die beiden andern 
Klassen der Bewegung ausgeschlossen werden, die Drehung um 
eine Gerade nach den allgemeinen Prinzipien, die andere Bewegung 
entsprechend den in § 7 (S. 329) durchgeführten Entwicklungen. 
Wie die möglichen Bewegungen mit einander verbunden werden 
können, soll uns nicht weiter beschäftigen. 
Sehr einfach gestaltet sich die Herleitung aller Clifford- 
Kleinschen Raumformen konstanter positiver Krümmung, wofern 
wir von den am Schlüsse von § 6 erwähnten Raumformen ab- 
sehen. Wir wissen, dafs jede elliptische Raumform auf einen 
Riemannschen Raum analytisch »abgewickelt« werden kann; im 
folgenden beschränken wir uns auf solche Raumformen, bei denen 
bereits die »Abwicklung« auf einen Kleinschen Raum möglich ist. 
Die Herleitung der übrigen bietet dann keine Schwierigkeit. 
Nach den in I § 19 gefundenen Sätzen kann jede gleich 
förmige Bewegung in einer solchen Raumform auf die gleich 
zeitige Verschiebung längs zweier Geraden, welche reziproke 
Polaren von einander sind, zurückgeführt werden. Dann werden 
entweder nur diese beiden Geraden in sich verschoben, oder alle 
Geraden, welche ihnen in dem durch die Verschiebung angege 
benen Sinne parallel sind, bleiben in Deckung mit ihrer Anfangs 
lage. Der erste Fall tritt ein, wenn die Verschiebungen längs 
der beiden ersten Geraden ungleiche Gröfse haben; im zweiten 
Falle werden die beiden ersten Geraden, und mit ihnen die 
Parallelen, um dieselbe Strecke in sich verschoben. 
Jetzt denken wir uns, w T as ohne Beschränkung der Allge 
meinheit gestattet ist, die Bewegung, durch welche ein Körper 
in seine Anfangslage gebracht wird, sei gleichförmig. Eine Gerade 
g werde dabei in sich verschoben, und zwar sei L die kleinste