Die Cliflord-Kleinschen Raumformen. 
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Verschiebung, welche imstande wäre, längs dieser Geraden den 
Körper in seine Anfangslage zu bringen. Zugleich werde die 
reziproke Polare gi um eine Strecke L x verschoben; hierbei sei 
(was sich durch Vertauschung von g mit g! immer erreichen 
läfst) die Anordnung getroffen, dafs jedenfalls L x nicht gröfser 
ist als L. Dann wird natürlich eine beliebig oft vorgenommene 
Wiederholung der Bewegung den Körper jedesmal wieder in 
seine Anfangslage zurückführen, also auch eine Bewegung, durch 
welche g um ,uL, g r um /<L t für ein ganzzahliges j« in sich ver 
schoben werden. Wir geben hier ,a den ersten Wert, für den 
/tL jrk ist. Sind wir vom Punkte P der Geraden g ausge 
gangen, so haben wir durch fi-malige Wiederholung die Linie 
einmal beschrieben, und die neue Lage P' von P fällt über P 
hinaus. Jetzt fällt der vorangehende Endpunkt von L entweder 
noch vor den Punkt P oder auf denselben. Im ersten Falle ist 
die Strecke PP' <V L. Da aber jetzt der Punkt P' ebenfalls mit 
P identisch sein mufs, so wäre L nicht die kleinste Strecke von 
der angegebenen Eigenschaft. Wir haben also diesen Fall aus- 
zuschliefsen, und indem wir /.«, = p -j- 1 setzen, folgt: L = -jrk, 
wo p eine ganze Zahl ist. 
In der Kleinschen Raumform, auf die wir die zu bestimmende 
Raumform abgebildet haben, hat jeder Punkt der Linie g durch 
(p — l)-malige Wiederholung der angegebenen Bewegung seine 
Anfangslage wieder erhalten. Die Transformation, welche die 
hierdurch gewonnene mit der im Anfang eingenommenen Lage 
in Beziehung setzt, mufs also nach den Forderungen des sechsten 
Paragraphen die identische sein (resp. jedes in — x t umwan 
deln); speziell mufs also auch jeder Punkt der reziproken Polare 
gi seine Anfangslage wieder einnehmen. Die Verschiebung Li 
längs dieser zweiten Geraden mufs also = sein, wo r eine 
p 
ganze Zahl ist. Da aber der Annahme nach Li nicht gröfser 
sein soll als L, und Li offenbar nicht gleich null sein kann, so 
k n 
mufs L x — - sein. Die Bewegung, durch die ein Körper wieder 
in seine Anfangslage zurückgeführt wird, verschiebt also alle 
(Cliffordschen) Parallelen einer gewissen Schar in sich.