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Vierter Abschnitt. § 9. 
Um dies ohne Rücksicht auf den angezogenen allgemeinen 
Satz zu erkennen, beachte man, dafs die Verschiebung längs g t 
einer Drehung um g entspricht, dafs man demnach sagen kann: 
Man denke eine Verschiebung L längs einer Geraden g ausgeführt 
und diese mit einer Drehung J um dieselbe Gerade verbunden. 
Statt die Drehung und die Verschiebung gleichzeitig auszuführen, 
kann man sie auch nach einander vor sich gehen lassen. So 
führe man auch jetzt erst die blofse Verschiebung aus, d. h. eine 
Bewegung, bei der die Gerade und jede hindurchgelegte Ebene 
in sich verbleibt, und wiederhole sie (p — l)-mal. Dann erlangt, 
wie wir vorhin bewiesen haben, jeder Punkt der Geraden g seine 
entgegengesetzt gleichen Koordinaten. Für die Punkte jeder 
hindurchgelegten Ebene ist dies aber nicht der Fall, sondern jeder 
Punkt nimmt gegen die Gerade g eine symmetrische Lage an. 
Hieraus erkennen wir schon, dafs eine blofse Verschiebung den 
Anforderungen nicht genügt und dafs eine Drehung hinzukommen 
mufs. Wiederholt man jetzt (p — l)-mal die mit der Verschiebung 
L verbundene Drehung so mufs diese für sich jeden Punkt 
in seine symmetrische Lage gegen g bringen; daher mufs J = — 
oder ein ungerades Vielfaches dieser Zahl sein. Der letztere Fall 
ist aber nach der über die Gröfse von L und Lj getroffenen 
Festsetzung auszuschliefsen. Wir sehen also, dafs die Verschiebung 
— mit einer Drehung — verbunden sein mufs. Bei einer solchen 
P P 
Bewegung bleiben aber alle Parallelen der einen Schar in Deckung 
mit ihrer Anfangslage. 
Diese Bewegung entspricht aufs schönste der Parallel - Ver 
schiebung in einem parabolischen Raume, indem alle Punkte sich 
in geraden Linien bewegen und gleiche Strecken zurücklegen. 
Der Raum wird in beiden Fällen mit Geraden angefüllt, von 
denen jede in sich verschoben wird. Die auf die angegebene 
Weise gewonnene Zurückführung eines Körpers in seine Anfangs 
lage steht also in vollem Einklänge mit derjenigen, welche wir 
im dritten Paragraphen für einen parabolischen Raum mitgeteilt 
haben. Demnach darf man auch hier diese eine Bewegung mit 
gleichartigen vereinigen, ganz wie wir dort Parallelverschiebungen 
nach verschiedenen Richtungen vorgenommen haben.