Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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§ 9- 
Hülfdsätze zur Einführung in die Lobatsehewskysche 
Geometrie. 
Diejenige Geometrie, welche sämtliche Voraussetzungen Eu 
klids, also auch das elfte Axiom benutzt, bezeichnen wir als die 
euklidische. Indem wir aber alle übrigen Voraussetzungen bei 
behalten und nur dies eine Axiom ausschliefsen, soll die zu er 
haltende Raumform als die Lobatschewskysche bezeichnet werden. 
Zur Einführung in dieselbe möchten wir das treffliche Werk des 
Herrn Frischauf; Einleitung in die absolute Geometrie (Leipzig 
1876) dringend empfehlen. Es ist aber gut, wenn verschiedene 
Methoden angegeben werden können, welche geeignet sind, in 
ein noch unbekanntes Gebiet einzuführen, und deshalb erscheint 
es angemessen, im folgenden einen andern Weg mitzuteilen. 8 ) 
Wir setzen dabei alle diejenigen Sätze voraus, für deren 
Beweis Euklid sein fünftes Postulat nicht benutzt, speziell die 
Propositionen 1—28 (incl.) des ersten Buches. Auch erinnern 
wir an den Legendreschen Beweis (§ 5 S. 9) dafür, dafs die 
Winkelsurame für ein Dreieck ebenso grofs oder kleiner ist als 
zwei Rechte. Demnach ist die Summe der Winkel eines Vierecks 
jedenfalls nicht gröfser als vier Rechte. 
Der weitern Entwicklung schicken wir noch folgende Sätze 
voraus. 
a) Errichtet man auf einer Geraden zwei Senkrechte, und 
macht dieselben gleich, so sind auch die Winkel gleich, welche 
diese Senkrechten mit der Verbindungsgeraden ihrer Endpunkte 
einschliefsen; sind aber die Senkrechten ungleich, so ist von den 
zwei Winkeln der an der kleineren Seite anliegende der gröfsere. 
Umgekehrt, wenn in einem Viereck zwei Seiten auf derselben 
dritten senkrecht stehen, so sind diese beiden Seiten gleich oder 
ungleich, jenachdem die an der vierten Seite anliegenden Winkel 
des Vierecks gleich oder ungleich sind; bei ungleichen Winkeln 
ist die an dem kleineren anliegende Seite die gröfsere. 
Man bringe, was nach den Annahmen möglich ist, das 
Viereck DECB (Fig. 2) in eine solche Lage, dafs E und C, sowie 
die Richtung CB und ED ihre Lagen vertauschen. Dann folgen 
die beiden ersten Teile des Satzes unmittelbar, während sich die 
beiden letzten leicht indirekt ergeben.