Die Cliftbrd-Kleinschen Raumformen. 
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In der That sei g' eine zweite Gerade, welche nicht zu dem 
vorher benutzten System von Parallelen gehört; längs dieser 
Geraden sei eine Verschiebung ^j/rk und zugleich um sie eine 
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Drehung — ausgeführt. Dann wird hierdurch eine Schar von 
Parallelen bestimmt, welche sämtlich dieselbe Verschiebung erleiden. 
Soll die aus beiden Parallelverschiebungen zusammengesetzte Be 
wegung wieder eine Schar von Parallelen in sich bewegen, so muis 
nach I § 19 die Schar der im zweiten Falle erhaltenen Parallelen 
denselben Sinn haben wie im ersten; mit andern Worten: Bewegt 
man den Körper so, dafs die Gerade g' mit g zusammenfällt und 
die Richtung L' mit L identisch wird, so mufs auch der Sinn der 
Drehung /!' mit dem der Drehung /i übereinstimmen. Unter 
derselben Bedingung darf man längs einer dritten Schar von 
Parallelen um die Länge -- zrk bewegen und hierdurch wieder ein 
Zusammenfallen von Körpern bestimmen. Eine derartige Fest 
setzung entspricht der in § 3 getroffenen auch insofern, als irgend 
zwei Substitutionen der Gruppe jedesmal mit einander vertauscht 
werden können. 
Die für eine zwei- und dreidimensionale elliptische Raumform 
gewonnenen Resultate können leicht auf eine höhere Zahl von 
Dimensionen übertragen werden. Zum Beweise ist es nur not 
wendig, die Sätze aus I § 19 über die gegenseitige Lage von 
geraden Linien auf eine höhere Zahl von Dimensionen zu über 
tragen. Wenn das auch unsere Absicht nicht sein kann, so 
können wir uns doch nicht versagen, das Resultat selbst hier 
mitzuteilen; dasselbe lautet: 
»Für eine gerade Zahl von Dimensionen wird eine elliptische 
Raumform entweder bei jeder starren Bewegung eines Teiles auch, 
als Ganzes in sich bewegt oder sie läfst sich doch mit Ausschluis 
gewisser Grenzgebilde eindeutig auf eine frei bewegliche Raum 
form abbilden. Dagegen giebt es bei einer ungeraden Zahl von 
Dimensionen auch elliptische Raumformen, die so auf eine der 
beiden frei beweglichen Raumformen abgebildet werden können, 
dafs jedem ihrer Punkte eine endliche Anzahl von Punkten der 
Riemannschen oder Kleinschen Raumform entspricht; wenn das