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Vierter Abschnitt. § 10. 
Krümmungsmafs == 1 : k 2 , die Zahl der Dimensionen gleich n, 
und p eine ganze Zahl ist, so kann man einen Körper dadurch in 
seine Anfangslage zurückführen, dafs man ihn längs (Cliifordscher) 
paralleler Linien um eine Strecke — oder bewegt; solcher 
P P 
Bewegungen kann man n von einander unabhängige zu einer 
Gruppe vereinigen.« 
§ 10. 
Rückblick. 
Die vorstehend betrachteten Raumformen sind erst seit kurzem 
bekannt. Ein Vortrag Cliffords über eine derartige Raumform 
ist nicht gedruckt, eine kurze Bemerkung, die er hierüber in 
einer gedruckten Arbeit gemacht hat, wohl allgemein übersehen 
worden. Erst durch eine Arbeit des Herrn Klein, deren Inhalt 
weit über das von Clifford Gefundene hinausging, wurden weitere 
Kreise auf diese Raumformen aufmerksam gemacht. Aber sie 
verdienen ebenfalls volle Beachtung; bilden sie doch das letzte 
Glied in der Entwicklung, die uns zu den älteren Raumformen 
geführt hat. 
Auf den ersten Blick begegnen die Clifford-Kleinschen Raum 
formen, wie wir sie am besten nennen, den schwersten Bedenken. 
Wer blofs einige ihrer Eigenschaften kennen lernt, ohne in die 
Begründung einzudringen, wird unbedingt glauben, die Berech 
tigung von vornherein verneinen zu müssen. Dafs z. B. die 
geraden Linien nicht sämtlich von gleicher Länge sind, dafs es 
z. B. für einen parabolischen Raum neben geschlossenen auch 
noch unendliche. Gerade geben soll, dürfte auf den ersten Blick 
ganz unzulässig erscheinen. Man wird scheinbar mit Recht sagen: 
Alle geraden Linien müssen kongruent sein, also auch dieselbe 
Länge besitzen. Ebenso versteht es sich doch von selbst, dafs 
der Raum überall gleichförmig sein mufs; und doch scheinen die 
hier gefundenen Raumformen dieser Forderung nicht zu genügen. 
Die in den drei ersten Paragraphen aufgestellten Raumformen 
zeigen wenigstens für die sämtlichen Punkte volle Gleichförmigkeit; 
man kann sie auch als Ganze so bewegen, dafs jeder Punkt mit 
jedem andern zur Deckung gelangt; demnach wird zu jeder Linie, 
welche von einem Punkte ausgeht, eine völlig übereinstimmende