Die Clifford-Kleinschen Raum formen. 
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Damit erachten wir die Aufgabe für gelöst, die wir uns in 
dem vorliegenden ersten Bande gestellt haben. Wir sind zum 
Schlufs wieder zu dem herrlichen Werke zurückgekehrt, von dem 
wir ausgegangen sind. Ein kleiner Mangel in den Elementen 
Euklids, den der Verfasser sicherlich selbst empfunden und 
genugsam hervorgehoben hat, gab uns Veranlassung, seine Paral- 
lelen-Theorie zu prüfen, und führte an erster Stelle zur Lobat- 
schewskyschen Geometrie. Schrittweise hat sich das Gebiet 
erweitert: zu der Euklidischen und Lobatschewskyschen traten 
die Riemannsche und die Kleinsche Raumform; endlich haben 
wir eine grofse Zahl weiterer Formen gefunden, die wir glaubten 
nach Clifford und Klein benennen zu sollen. Aber alle besitzen 
dieselbe einfache Grundlage, die aus der von Euklid aufgestellten 
durch eine ganz leichte Änderung gewonnen werden kann. Statt 
nämlich mit dem griechischen Geometer unmittelbar den Raum 
als Ganzes zu untersuchen, beschränken wir uns zunächst auf ein 
allseitig begrenztes Gebiet; für diesen Bereich gehen wir aber 
von denselben Voraussetzungen aus, die Euklid gemacht hat, und 
schliefsen der Natur der Sache nach nur diejenigen aus, welche 
durch ihren Inhalt verlangen, über jenes Gebiet hinauszugehen. 
Demnach sind wir genötigt, dem griechischen Mathematiker die 
höchste Bewunderung zu zollen, da er es verstanden hat, ein so 
mächtiges Lehrgebäude auf wenigen einfachen Prinzipien zu er 
richten, die zwar im Laufe der Jahrtausende eine kleine Be 
schränkung erfahren haben, aber durch die eingehendsten Unter 
suchungen in allen wesentlichen Punkten als richtig erwiesen sind. 
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