Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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—-— n. Fährt man dann aber mit diesem Prozefs weiter fort, 
n -f- 1 
bis AB wieder in die Anfangslage oder zwischen AB und AC 
gelangt, so ergeben sich für beide Winkel immer engere Grenzen 
von gleicher Gröfse. 
Man kann den Beweis auch dadurch führen, dafs man den 
einen Winkel direkt auf den andern legt und zeigt, dafs hierbei 
Deckung eintritt. 
d) Wie auch die zweite Linie AC gewählt ist, immer ist 
ABA' ein ganzzahliger Teil der ganzen Linie AB . . A (also ent 
weder die ganze Linie oder die Hälfte oder ein Drittel u. s. w.). 
Verschiebt man die ganze Figur in ihrer Ebene längs der 
Geraden AB, bis A auf A' gelangt, so mufs auch AC wieder in 
dieselbe gerade Linie fallen. Folglich wird auch die neue Lage 
A" von A' ein Schnittpunkt der beiden gegebenen Geraden sein, 
und es ist AA' = A'A" u. s. w. Da aber A selbst ein gemein 
schaftlicher Punkt der Geraden ist, so mufs man durch eine end 
liche Anzahl von Wiederholungen zu diesem Punkte gelangen. 
e) Wenn sich irgend zwei Gerade AB und AC, von A aus 
gehend, zuerst wieder in A' treffen, so steht die Gerade, welche 
die Mitten von ABA' und AGA' mit einander verbindet, auf beiden 
Geraden senkrecht. 
Es sei (Fig. 20) AM = MA' auf AB und AN = NA' auf AC, 
so sind die Dreiecke AMN und A'NM kongruent. Da aber beide 
Dreiecke gleich 
schenklig sind, so 
sind die vier Win 
kel an M und N 
einander gleich, 
also jeder ein 
Rechter. 
Ä. 
f) Wenn sich irgend zwei von A ausgehende gerade Linien 
zuerst wieder in A' treffen, so müssen auch alle von A aus 
gehenden Geraden wieder durch A' hindurchgehen. 
Für eine ganze Reihe von Linien ist der Satz bereits in c) 
bewiesen; wir drehen die Figur um ABA', so mufs auch jede 
neue Lage von AGA' durch A’ hindurchgehen; dreht man aber 
jetzt um die Anfangslage von AC, so erhält man in der gegebenen