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Erster Abschnitt. § 18. 
Ebene selbst weitere derartige Linien, welche einen an A liegenden 
Winkel einschliefsen; somit gilt der Satz allgemein. 
Will man in der Ebene bleiben, so halbiere man in der 
vorigen Figur MN in O, ziehe AO und A'O und zeige, dafs 
dies eine gerade Linie ist, so dafs die Gerade AO durch A' geht. 
Durch Fortsetzung dieses und des in c) eingeschlagenen Verfahrens 
kann man jeder durch A gehenden Geraden unbegrenzt nahe 
kommen. 
g) Die Mitten aller Geraden von einem Punkte A bis zum 
nächsten Schnittpunkt A' liegen in einer Ebene, deren sämtliche 
Punkte sowohl von A wie von A' gleichen Abstand haben. 
Es sei (vergl. die vorige Figur) ABA' eine gerade Linie; 
M die Mitte derselben; in M sei MN beliebig auf ihr senkrecht 
errichtet; dann mufs die Gerade AN durch A' gehen; wegen der 
Kongruenz der Dreiecke AMN und A'MN ist auch AN = LAA' 
und <£ ANM ein Rechter; folglich ist AN = AM. 
Dreht man jetzt AM in derselben Ebene um A, bis auch 
<£ MAP (Fig. 21) ein rechter ist, so sind die drei Winkel von 
MAP gleich, also auch die drei Seiten. 
M Bezeichnen wir die Länge einer jeden mit 
-|-k/r; so entspricht dem Winkel MAN=t/ 
die Länge MN = ky. Ferner ist AA' = 
2 AM — k/r. 
h) Alle von einem Punkte ausgehenden 
geraden Linien schneiden sich entweder 
noch in einem zweiten Punkte oder haben keinen weiteren Punkt 
gemeinschaftlich. 
Wir drehen die Gerade AM, wo M in der Mitte zwischen 
A und A' liegt, um den Punkt A in einer Ebene. Dann beschreibt 
M eine gerade Linie. Soll der Punkt M in seine Anfangslage 
zurückkehren, so mufs auch die Gerade AM wieder in Deckung 
mit ihrer Anfangslage gelangen. Das geschieht bei einer Drehung 
von zwei Rechten (— tt) und von jedem Vielfachen von zwei 
Rechten (also bei mV). Wenn AM sich um den Winkel n 
gedreht hat, so hat M die Länge k;r zurückgelegt, ist also zum 
ersten Schnittpunkt M' gekommen, in dem die von M ausgehenden 
Geraden wieder Zusammentreffen. Als erste Möglichkeit ergiebt 
sich demnach die, dais M' mit M zusammenfällt, dafs also über-