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Erster Abschnitt. § 19. 
b) Der gröbste Abstand, welchen zwei Punkte von einander 
erhalten können, ist gleich der halben Länge der geraden Linie, 
und nachdem ein Punkt gegeben ist, hat nur ein anderer Punkt 
von ihm diesen gröbsten Abstand. 
Sind A und B irgend zwei Punkte des Raumes, so labst sich 
eine gerade Linie durch sie hindurchlegen (wenn sie Gegenpunkte 
sind, unendlich viele). Diese Gerade wird durch die beiden Punkte 
in zwei Teile zerlegt, welche nur gleich sind, wenn jeder gleich 
krr ist; wenn sie aber ungleich sind, so mubs einer von ihnen 
kleiner als k/T sein. Man kann also im allgemeinen zwischen 
zwei Punkten eine gerade Strecke ziehen, welche kleiner ist als kn. 
Der Abstand k/r führt aber längs jeder beliebigen Geraden auf 
den Gegenpunkt. 
c) Die Ebene des Riemannschen Raumes hat für sich be 
trachtet die Eigenschaften einer Kugelfläche (im euklidischen 
Raume). Der Unterschied tritt erst hervor, wenn man die Be 
ziehungen der Ebene zu den aubser ihr gelegenen Gebilden be 
trachtet; die Ebene ist nämlich umkehrbar, die Kugelfläche aber 
nicht. Dadurch werden aber noch weitere Verschiedenheiten 
begründet. 
Auch die gewöhnliche Sphärik kann man darauf stützen, dabs 
alle Hauptlinien kongruent sind und die von einem Punkte aus 
gehenden sich noch in einem zweiten Punkte begegnen. Nach 
den Entwicklungen des vorigen Paragraphen und unter Hinzu 
nahme der in d—h dieses Paragraphen benutzten Methoden ergeben 
sich die Beweise mit Leichtigkeit. 
d) Alle Punkte, welche von einem festen Punkte den Abstand 
-i-ktc haben, liegen auf einer Ebene, der Polarebene des Punktes; 
alle geraden Linien, welche durch einen Punkt gehen, stehen aut 
seiner Polarebene senkrecht, und umgekehrt gehen alle geraden 
Linien, welche auf einer Ebene senkrecht stehen, durch ihre Pole 
hindurch; je zwei Senkrechte derselben Ebene liegen wieder in 
einer Ebene. 
Von einem Punkte A des Raumes lassen wir beliebig viele 
gerade Linien ausgehen; alle diese schneiden sich noch im Gegen 
punkte A'. Die Mitten aller Strecken AA' liegen in einer Ebene «. 
Bei jeder Drehung um den Punkt A wird die Ebene « in sich 
verschoben. Verbinden wir den Punkt A mit irgend einem Punkte