Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 61) 
den Schnittpunkt mit der Ebene enthalten; der andere Teil liefert 
einen Weg von der verlangten Eigenschaft. 
Um den zweiten Satz zu beweisen, lege man wieder durch 
die beiden Punkte eine gerade Linie; diese wird durch die Punkte 
in zwei Teile zerlegt; diese Teile sind entweder beide gleich 
k k/r oder der eine ist kleiner als ^ k/r. Die gröfste Entfernung 
zweier Punkte beträgt also \ k/r, und alle Punkte, welche diesen 
Abstand von einem gegebenen Punkte haben, gehören der Polar 
ebene desselben an. 
Wir fügen hier eine Betrachtung bei, welche es ermöglicht, 
die zuletzt betrachtete Raumform aus der Riemannschen herzu 
leiten. Wir betrachten nämlich nach dem Vorgänge von Plücker 
in einem Raume die Ebene als Element. Diejenige Beziehung 
zwischen zwei Elementen, welche sich bei beliebiger starrer Be 
wegung nicht ändert, wird dann das Analogon des Abstandes 
bieten. Wollte man diese Betrachtung auf den euklidischen Raum 
anwenden, so würde man zu Vorstellungen geführt, auf welche 
sich die ersten Begriffe Euklids nicht mehr anwenden lassen. 
Dagegen ist es wohl gestattet, im Riemannschen Raume die Ebene 
als Element zu betrachten. Bei jeder starren Bewegung dieses 
Raumes bleibt auch die Länge der für zwei Ebenen gemeinschaft 
lichen Senkrechten ungeändert. Dieser Abstand darf daher als 
Abstand der beiden Elemente bezeichnet werden; natürlich ist, 
wie auch früher wenigstens stillschweigend vorausgesetzt wurde, 
wenn die betr. Längen auf der Senkrechten ungleich sind, die 
kleinere als Abstand zu bezeichnen. Dann ist der gröfste Abstand 
zweier Elemente gleich f k/r, und wenn ein Element gegeben ist, 
so giebt es eine zweifache Unendlichkeit von Elementen, denen 
dieser gröfste Abstand zukommt; es sind das alle Ebenen, welche 
durch ihre Pole hindurchgehen. Ersetzen wir also in der Rie 
mannschen Raumform den Punkt durch die Ebene, so mufs die 
Ebene durch die Gesamtheit aller Ebenen ersetzt werden, welche 
durch ■ ein Paar Gegenpunkte gelegt werden können. Demnach 
mufs auch die Gerade durch den Ebenenbüschel (d. h. alle Ebenen, 
welche sich in derselben Geraden schneiden) ersetzt werden. Für 
diese Begriffe gelten alle Sätze, welche Euklid in den seinem ersten 
Buche vorgeschickten Bemerkungen voraussetzt, abgesehen von der 
Unendlichkeit der Geraden (und demnach auch vom fünften Postulat).