Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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haltenden Formeln auch für die euklidische und die Lobatschews- 
kysche Ebene zu benutzen. Zu dem Ende gehen wir von zwei 
auf einander senkrecht stehenden Geraden OX und OY aus. Um 
die Lage eines Punktes P zu bestimmen, ziehen wir die Gerade 
OP und fällen von P die Senkrechten PA und PB auf OX und OY. 
Dann setzen wir: 
OP . . PB , . PA 
p — cos, x=ksm-j—, y — ksm • 
k k k 
Jetzt besteht zwischen p, x, y die Relation: 
k 2 p 2 -f x 2 + y 2 = k 2 . 
Wählt man umgekehrt drei reelle Gröfsen so, dafs sie dieser 
Gleichung genügen, so stellen sie einen Punkt dar. Zwei Punkte 
(p, x, y) und (p , x', y') können nur zusammenfallen, wenn 
p = p', x = x', y = y ist. Durch das Verhältnis der drei Gröfsen 
p, x, y sind zwei Punkte bestimmt, und jedem beliebigen Ver 
hältnis genügen zwei Punkte. 
Ganz wie in § 15 leiten wir für den Abstand e zweier 
Punkte (p, x, y) und (p', x', y') die Formel her; 
0 
k 2 cos £ = k 2 pp' -f- xx' -j- yy'. 
Ferner erhalten wir wie dort die Gleichung einer geraden 
Linie, und zwar ist dieselbe wieder homogen linear in den Koor 
dinaten p, x, y, also von der Form: 
ep -)- ax by = 0; 
jedoch braucht hier zwischen e, a, b keine Bedingung zu bestehen. 
In ähnlicher Weise lassen sich die Koordinaten für den Raum 
aufstellen. Wir wählen drei auf einander senkrecht stehende 
Ebenen mit dem Schnittpunkte O und benutzen zur Bestimmung 
von P die Gröfsen: 
n OP T . PA . . PB , . PC 
p = cos-jT-, x=ksm—, y = ksm^-, z = ksm-j-, 
wo PA, PB, PC die Längen der auf die drei Ebenen gefällten 
Senkrechten sind. Dann besteht die Relation: 
k 2 p 2 —{- x 2 —E y 2 —(— z 2 = k 2 . 
Für die Entfernung e zweier Punkte (p, x, y, z) und (p', x', y', z') 
gilt die Beziehung: 
k 2 cos | 1 k 2 pp —j— xx —yy —J— zz .