Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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zum Verschwinden gebracht werden kann, ohne dafs alle Varia 
bein gleich null sind. 
Sehen wir demnach von den (doch nur geringen) Unter 
schieden zwischen der Riemannschen Geometrie und ihrer Polar 
form ab, so wird jede Raumform durch eine reelle Konstante 
~ charakterisiert. Diese verdient mit vollstem Rechte den Namen 
der charakteristischen Konstante, so dafs wir den endlichen Raum 
als einen Raum mit positiver, den euklidischen als einen mit ver 
schwindender und den Lobatschewskyschen als einen mit nega 
tiver charakteristischer Konstante bezeichnen können. Die hohe 
Bedeutung dieser Gröfse wurde zuerst von Riemann erkannt, und 
da sie sich ihm aus analytischen Untersuchungen ergab und ihr 
allgemeiner Ausdruck grofse Ähnlichkeit mit dem für das Gaufsische 
Krümmungsmafs der Flächen zeigte, so nannte er sie das Krüm 
mungsmais der Raumform. Indem er eine Verallgemeinerung 
des Begriffes Raum einführt, auf welche wir hier nicht eingehen 
können, mufs er für die von uns betrachteten Raumformen das 
Krümmungsmafs als konstant voraussetzen; somit unterscheidet 
er Räume positiven, verschwindenden und negativen konstanten 
Krümmungsmafses. Dieser Name hat vielfach zu MifsVerständ 
nissen Veranlassung gegeben, weil man sich des analytischen 
Ursprunges nicht erinnerte und das Wort in seiner geometrischen 
Bedeutung auffafste. 
Bezeichnen*) wir die Gesamtheit der Begriffe und Urteile, 
zu denen wdr bei beliebiger Wahl von gelangen, als eine 
Raumform, so stellt die Gesamtheit aller Raumformen eine stetige 
Folge dar. Ist in mehreren Raumformen die charakteristische 
Konstante positiv, so zeigen sie, solange man jede einzelne in 
sich betrachtet, genau dieselben Eigenschaften; sie unterscheiden 
sich aber durch die Länge der geraden Linie und andere dem 
entsprechende Längen. Will man in allen dieselbe Längeneinheit 
*) Um nicht gar zu weitläufig zu werden, glaube ich es nur versagen 
zu müssen, im folgenden Teile dieses Paragraphen stets die Entwicklungen 
vollständig durchzutühren und alle Sätze mit ausführlichen Beweisen zu ver 
sehen. Da es sich nicht um die strenge Theorie handelt, dürfte ein solches 
Verfahren wohl gestattet sein. Auf einzelne Punkte müssen wir an einer spätem 
Stelle nochmals eingehen und dann soll eine genauere Darlegung erfolgen.