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Erster Abschnitt. § 22. 
zu Grunde legen, so müssen wir die Räume als verschieden 
betrachten. Ebenso zeigen alle Raumformen mit negativer charak 
teristischer Konstante, so lange man jede nur in sich betrachtet, 
dieselben Eigenschaften, während sie von einander verschieden 
sind, wenn man in allen dieselbe Längeneinheit voraussetzt. Da 
gegen ist im euklidischen Raume die Gröfse der charakteristischen 
Konstante von der Wahl der Längeneinheit ganz unabhängig. 
Nimmt man also in den verschiedenen Raumformen dieselbe 
Längeneinheit an, so stellt sich die euklidische Geometrie als 
einzelner Lall zwischen unendlich vielen gleichberechtigten dar. 
Legen wir unsern Messungen ein festes Längenmafs, etwa 
das Meter, zu Grunde, so belehrt uns die Erfahrung, dafs k 2 
seinem absoluten Betrage nach gröfser sein mufs als eine gewisse 
Zahl; dagegen sagt sie uns nicht, welcher Zahl k 2 in Wirklichkeit 
gleich kommt. Lür den reziproken Wert 1 ; k 2 müssen wir dem 
nach ein gewisses Continuum, nämlich jede der Zahlen zwischen 
£ und — £ als möglich anerkennen. Somit sind noch unendlich 
viele positive und unendlich viele negative Zahlen als möglich 
anzusehen. Entspricht eine dieser positiven Zahlen der Wirk 
lichkeit, so hat der Erfahrungsraum die in § 19—21 gelehrten 
Eigenschaften; wenn aber 1 : k 2 in Wirklichkeit eine negative 
Zahl ist, so gelten für den Raum die in den §§ 11—16 angege 
benen Sätze. Dagegen gelten Euklids Sätze nur dann, wenn die 
Konstante den einen Wert null besitzt. Auch hier finden wir 
unendlich viele gleichberechtigte Werte, und nur einer entspricht 
der euklidischen Geometrie. 
Derselbe enge Zusammenhang, welcher hier in den analy 
tischen Formeln sich offenbart, mufs sich auch in den geome 
trischen Sätzen selbst zeigen. Zunächst ist das weite Gebiet der 
Projektivität in allen Raumformen durchaus identisch. 14 ) Um zu 
demselben zu gelangen, gehen wir etwa von vier Punkten A, B, 
C, D auf einer geraden Linie aus und ziehen von einem Punkte O 
aus die vier Strahlen OA, OB, OG, OD. Dann folgt aus dem 
Sinussatz: 
. AG . AD 
Sm k sm k sin AOC sin AOD 
CB ' . DB sin COB ' sin DÖB 
sm —sm .