Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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von einem Punkte wie von einer Ebene. Dagegen existiert im 
Lobatschewskyschen Raume im allgemeinen entweder ein Punkt 
oder eine Ebene von der angegebenen Eigenschaft; nur für die 
spezielle Übergangsfläche, die Grenzfläche Lobatschewskys, existiert 
weder ein solcher Punkt noch eine solche Ebene; wir haben beide 
in unendlicher Entfernung anzunehmen. 
§ 23. 
Saccheris Untersuchungen. 
Als wir die Lobatschewskysche Geometrie begründeten, sind 
wir von der Voraussetzung ausgegangen, dafs die Gerade un 
endlich sei; ebenso haben wir der Untersuchung des endlichen 
Raumes die Annahme zu Grunde gelegt, dafs die Gerade eine 
geschlossene Linie sei. Nun ist es aber vom theoretischen Stand 
punkte aus schon mifslich, eine solche willkürliche Annahme zum 
Ausgangspunkte der Untersuchung zu machen. Aufserdem legt 
die Gleichartigkeit der gewonnenen Resultate es nahe, auch eine 
Übereinstimmung in der Grundlage anzustreben. Endlich dürfte 
es angebracht sein, eine Grundlage zu wählen, deren Berechtigung 
der Erfahrung unterworfen werden kann. Deshalb ist es hoch 
interessant, dafs auch die ältesten sorgfältigen Untersuchungen, 
welche zu dem Zwecke angestellt sind, um über das elfte Axiom 
Euklids ins reine zu kommen, diesen Weg einschlagen. Diese 
Untersuchungen sind bereits vor mehr als anderthalb Jahrhunderten 
angestellt und in dem Werke veröffentlicht; Euclides ab omni 
naevo vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima 
ipsa universae geometriae principia, auctore Eüeronymo Saccherio, 
societate Jesu, in Ticinensi universitäre Matheseos professore 
(Mailand 1733). 
Das Werk ist erst ganz vor kurzem durch Herrn Manganotti 
wiederaufgefunden und seine hohe Bedeutung von Herrn Beltrami 
erkannt worden. Ich erachte es für angebracht, einzelnes aus 
diesem Werke mitzuteilen, wobei ich mich auf ein genaues Referat 
des Herrn Beltrami 15 ) stütze. Da Saccheri nur ebene Figuren 
betrachtet, wird es nicht nötig sein, jedesmal hervorzuheben, dafs 
die zu einer Figur vereinigten Linien und Punkte in derselben 
Ebene vorausgesetzt werden.