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Erster Abschnitt. § 24. 
und D rechte seien, und leitet daraus mit besonderer Leichtigkeit 
die euklidische Geometrie her. 
§ 24. 
Gemeinschaftliche Begründung der verschiedenen Baumformen. 
Es wird gut sein, noch einen andern Weg 17 ) anzugeben, 
welcher zu den verschiedenen Raumformen führt, ohne über ein 
beliebig kleines endliches Gebiet hinauszugehen. Dieser Weg 
benutzt allerdings die ersten Sätze der Differential- und Integral 
rechnung; indessen wird es dem Leser ohne Zweifel leicht werden, 
diejenigen Stellen, in denen von der Rechnung Gebrauch gemacht 
wird, ihres analytischen Charakters zu entkleiden und dafür rein 
geometrische Erwägungen zu benutzen. Ich selbst glaubte diese 
Form der Darstellung nicht wählen zu dürfen, weil die Breite, 
die dabei unvermeidlich ist, dem Leser nur lästig fallen müfste. 
Wir gehen davon aus, dafs in dem angenommenen Gebiete 
die Voraussetzungen Euklids gelten; nur soll die Unendlichkeit 
der Geraden und sein fünftes Postulat nicht vorausgesetzt werden. 
Zunächst beschränken wir uns auf ein unendlich kleines Gebiet, 
d. h. wir gehen von irgend einer Figur aus und lassen sie nach 
einem festen Gesetze in der Weise sich ändern, dafs alle in ihr 
vorkommenden Linien beliebig klein werden. So behalten wir 
etwa in einem Dreieck zwei seiner Winkel bei, lassen aber die 
jenige Seite, an der diese beiden Winkel liegen, unbegrenzt ab 
nehmen; wir können auch einen Winkel ungeändert lassen und 
die ihn einschliefsenden Seiten nach irgend einem Gesetze un 
begrenzt verkleinern. Jetzt weist schon die Erfahrung darauf hin 
und eine genauere Untersuchung bestätigt es, dafs man die Winkel 
summe eines Dreiecks beliebig nahe an zwei Rechte bringen kann, 
wofern man nur die Seiten hinreichend klein werden läfst. Daraus 
folgt, dafs die Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks, in dem 
zwei Winkel konstant bleiben, sich festen Gröfsen immer mehr 
nähern, je kleiner die von den beiden Winkeln eingeschlossene 
Seite ward. Geht man speziell von einem rechtwinkligen Dreieck 
aus, in dem ein spitzer Winkel u konstant erhalten wird, während 
man eine Seite immer kleiner werden läfst, so nähert sich das 
Verhältnis der dem Winkel a gegenüberliegenden Kathete zur 
Hypotenuse immer mehr einer festen Grenze, welche als der