Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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Sinus von et definiert werden kann. Vermittelst desselben Dreiecks 
kann man auch die übrigen trigonometrischen Funktionen ein- 
führen; dann erleidet die Herleitung der für sie geltenden Gesetze 
keine wesentliche Veränderung, und die Funktionen selbst sind 
dieselben, welche im elementaren Unterricht mit diesem Namen 
bezeichnet werden. 
In ähnlicher Weise kann man zwei Winkel « und ß eines 
beliebigen Dreiecks unverändert lassen und die von ihnen ein 
geschlossene Seite c immer kleiner machen; dann werden, wenn 
der dritte Winkel y ist und die Seiten a und b den Winkeln « 
und ß gegenüberliegen, die Gleichungen 
« + ß + Y = n, 
a : sin cc = b : sin ß = c : sin y 
der Wahrheit immer näher kommen, je kleiner die Seite c wird. 
Der Fall, dafs diese Formeln vollkommen richtig sind, ist natürlich 
nicht ausgeschlossen. 
Dasselbe Verfahren können wir auf irgend eine Figur an 
wenden; wir benutzen bei den folgenden Entwicklungen speziell 
das Viereck und den Kreis. Überall zeigt sich, dafs die Gesetze 
der euklidischen Geometrie entweder in voller Strenge gelten 
oder doch der Wahrheit immer näher kommen, je kleiner das 
Gebiet wird, auf das man sich beschränkt. Um dies kurz aus 
zudrücken, sagt man wohl, für ein unendlich kleines Gebiet gälte 
die euklidische Geometrie. 
Den Nachweis für diese Behauptung möchten wir hier um 
so eher übergehen, weil er bereits von verschiedenen Seiten mit 
geteilt ist. Wir erinnern nur daran, dafs die euklidische Geo 
metrie jedenfalls mit allen unsern Beobachtungen im schönsten 
Einklang steht. Wofern sie also der Wahrheit nicht vollständig 
entspricht, liegt innerhalb eines jeden unserer Beobachtung zugäng 
lichen Gebietes die Abweichung jedenfalls nur innerhalb derjenigen 
Fehlergrenzen, welche bei unsern Messungen unvermeidlich sind. 
Demnach dürfen wir uns fragen: Welche Gesetze können für den 
Raum als streng richtig angesehen werden, wofern man die 
(durch die Erfahrung bestätigte) angenäherte Richtigkeit der Sätze 
Euklids voraussetzt? Diese Frage ist nicht wesentlich verschieden 
von der folgenden: Welche Gesetze gelten für einen endlichen 
Raum, wenn in einem unendlich kleinen Gebiet die euklidische 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 6