Abschlufs der projektiven Geometrie. 
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Hier ersetze ich ö durch q cos X, r durch p sin X und denke 
mir die Bewegung wie in II § 7 unbegrenzt fortgesetzt. Dann 
mufs der Punkt in seine Anfangslage zurückkehren; es mufs also 
für gewisse Werte von p und X werden x' — x, y' = y und 
damit auch g' = g, rj' — rj. Das ist nur möglich für p = 1, 
X = 2m^r bei einem ganzzahligen Werte von m. Da aber bei 
der Wiederholung der Bewegung q mit einem Exponenten, X nur 
mit einem Faktor versehen wird, so sind die Transformations- 
Gleichungen in den neuen Gröfsen: 
(6) £' = £ cos X — rj sin X, 7] = g sin X + rj cos X. 
Zugleich wird die Gleichung eines jeden Kreises, der den 
Anfangspunkt zum Mittelpunkt hat: 
(7) £ 2 -f- rj 2 — a 2 . 
Mit diesem Kreise hat die Gerade g = a nur den Punkt (a, 0) 
gemeinschaftlich; sie ist Tangente an ihn. Derselbe Kreis wird 
von der Geraden g = — a berührt. 
3. Da die Gröfsen g und rj gebrochene lineare Funktionen 
von x und y sind, welche denselben Nenner haben, so werden 
auch in ihnen die projektiven Umgestaltungen durch gebrochene 
lineare Funktionen dargestellt. Verschieben wir die Ebene längs 
der Achse ^=0, so hat die Gleichung, durch welche die Veränderung 
von g in dieser Geraden angegeben wird, entweder die Form: 
£' — a = 0 oder S' — a (§ ~ a) cos Q — ß sin q 
§' — ß ^ £ — ß ß (£ — a) sin q -\-ß cos q 
oder — 
£ — « 
J. 
£ — « 
+ Q, 
wo a und ß feste Werte, q ein beliebiger Wert beizulegen ist; 
im ersten Fall kann die Form auch sein: £' — a = q (g — «), 
im letzten auch: £' = £ + (). 
Nun beachten wir, dafs der Kreis (7) die Gerade rj = 0 in 
den beiden Punkten: g = + a schneidet. Verschiebt man also 
diese Gerade in sich, bis der Punkt (— a, 0) auf den Punkt 
(0, 0) zu liegen kommt, so deckt gleichzeitig der Nullpunkt den 
Punkt (a, 0). In einer parabolischen Ebene, die wir zunächst 
betrachten, mufs also eine der beiden Gleichungen 
-f- q und 
= £ + (>