Abschluß der projektiven Geometrie. 
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sich gewisse Gesetze über die Art und Weise, wie der Raum bei 
der Verschiebung der Ebene in sich bewegt wird. Diese ge 
statten, jedem Punkt der Ebene eine feste, durch den Punkt 
gehende Gerade, die auf der Ebene errichtete Senkrechte, zuzu 
ordnen. Durch diese Gerade läfst man die zweite Ebene hindurch 
gehen und setzt auch in ihr die Existenz eines Kreises voraus. 
15. Wie wir in den §§ 6—11 des dritten Abschnitts (B. 1. 
S. 178 ff.) geometrische Ausdrücke iür Sätze der Analysis gebrauchten 
und dadurch eine wesentliche Vereinfachung der Form erreichten, 
welche aufserdem bedeutend zur Erleichterung des Verständnisses 
beitrug, ohne im geringsten den Boden der Geometrie zu be 
treten, so dient in der vorstehenden Entwicklung der Gebrauch 
der Worte: Ruhe, Bewegung, Verschiebung, Bahnlinie u. dgl. nur 
dazu, eine einfache und übersichtliche Ausdrucksweise zu schaffen. 
Demnach stehen die Entwicklungen dieses Paragraphen ganz auf 
dem Boden der Projektivität, obwohl die äufsere Form einen 
metrischen Charakter zeigt. 
Dafs die aufgestellten Forderungen durch manche andere 
ersetzt werden können, braucht wohl kaum bemerkt zu werden. 
Es handelt sich ja nur darum, die mehrfach genannte sechsgliedrige 
Gruppe, durch welche die starre Bewegung beschrieben wird, 
gegenüber den übrigen projektiven Gruppen einer dreifach aus 
gedehnten Mannigfaltigkeit zu charakterisieren. Bei unserer Aus 
wahl haben wir uns durch die hohe Bedeutung bestimmen lassen, 
welche der Kreis bei der gebräuchlichen Behandlung der Geometrie 
einnimmt. Vielleicht wäre es besser gewesen, direkt räumliche 
Transformationen in Betracht zu ziehen; für das passendste möchte 
ich es halten, die einschränkenden Forderungen in Zusammenhang 
mit den Untersuchungen des vierten Paragraphen zu bringen. 
Indessen würde das hier zu weit führen. 
Die Übertragung der durchgeführten Untersuchung auf den 
mehr dimensionalen Raum dürfen wir wohl dem Leser überlassen. 
§ 
Fanos Begründung der Projektivität. 
Bei der Begründung der Projektivität macht die Beantwortung 
der Frage, ob zwei Gebilde gemeinschaftliche Elemente besitzen