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Sechster Abschnitt. § 7. 
an manchen Stellen lästige Erwägungen nötig, die zu der sonst 
hervortretenden Einfachheit wenig passen. Es lohnt sich daher 
zu untersuchen, ob die Kleinschen Voraussetzungen nicht in der 
Weise geändert werden können, dafs man sofort die Existenz 
gemeinsamer Elemente erkennt. 
Nach dieser Richtung liegen zwei beachtenswerte Aufsätze 
vor, die beide von Herrn Segre angeregt und auch wohl beein- 
flufst sind; die Ausführung verdanken wir den Herren d’Amodeo 
und Fano. 14 ) Dafs die ersten Versuche noch manche Mängel 
zeigen, darf uns nicht wundern; es fragt sich, ob die Arbeiten 
einen guten Kern enthalten, der eine weitere Ausbildung gestattet. 
Um den Leser zur Prüfung dieser Frage anzuregen, wollen wir 
das System des Herrn Fano in seinen Grundzügen darlegen. 
Nur der Begriff des Punktes wird von vorn herein voraus 
gesetzt; alle anderen Begriffe werden entweder durch ein Postulat 
oder durch eine Definition eingeführt. An erster Stelle (I) wird die 
Gerade postuliert als ein geometrisches Gebilde, das durch zwei 
Punkte in eindeutiger Weise bestimmt ist. Ist eine Gerade und 
ein ihr nicht angehörender Punkt gegeben, so kann man durch 
jeden Punkt der Geraden und den festen Punkt eine Gerade 
legen: Die Gesamtheit der auf diese Weise erhaltenen Punkte 
wird eine Ebene genannt. Für das hierdurch eingeführte Gebilde 
sollen die Postulate gelten: 
II. Eine Gerade liegt ganz in einer Ebene, sobald sie zwei 
Punkte mit ihr gemein hat; 
III. Wofern zwei Gerade in derselben Ebene liegen, haben 
sie stets einen Punkt gemeinschaftlich. 
Diese Voraussetzungen würden nichts Neues liefern, wenn 
die Gerade (1, 2) nur in der Zusammenstellung der Punkte 1 
und 2, und infolge dessen die Ebene (1, 2, 3) in der Zusammen 
fassung der Punkte 1, 2, 3 bestände. Demnach wird die Voraus 
setzung (IV) hinzugefügt, dafs jede Gerade mehr als zwei Punkte 
enthält. 
Sind jetzt A, B, C drei Punkte einer geraden Linie, so 
können wir auf dieselbe Weise, wie im zweiten Abschnitt (B. 1. 
S. 99 —101), den vierten harmonischen Punkt finden und be 
weisen auf dem dort angegebenen Wege, dafs dieser Punkt von 
der Wahl der benutzten Ebenen und Geraden unabhängig ist.