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vierten harmonischen Punktes allmählich jedem Punkte der Geraden 
beliebig nahe kommen kann. Beim Beweise dieses Satzes wird 
man aber Untersuchungen nicht entbehren können, die uns ge 
statten, die Theorie der Doppelverhältnisse vollständig durchzu 
führen, wie wir es in II § 3 gethan haben. Hierbei tritt uns 
aber dieselbe Schwierigkeit entgegen, welche in der metrischen 
Geometrie die Messung der geraden Strecke augenblicklich noch 
bietet. Wir konstatieren aber ausdrücklich, dafs dies die einzige 
Lücke ist, welche noch nicht ganz hat ausgefüllt werden können; 
auch berechtigen die vielen Vorarbeiten, welche diesem Gegen 
stände in der letzten Zeit gewidmet sind, zu der Erwartung, dafs 
der Abschlufs dieser Untersuchungen nahe bevorsteht. 
Nachdem die Doppelverhältnisse eingeführt sind, kann man 
die projektive Geometrie rein synthetisch aufbauen (II § 4). Es 
war für uns nicht nötig, dies im einzelnen durchzuführen; es 
genügte vielmehr, auf Reyes »Vorlesungen über die Geometrie 
der Lage« zu verweisen. Man hat aus diesem Werke nur die 
Partieen metrischen Charakters auszuschliefsen und die kleinen 
Änderungen vorzunehmen, welche dadurch bedingt sind, dafs Reye 
von vornherein den Raum als Ganzes untersucht, wir aber an 
fänglich nur einen endlichen Bereich betrachten. 
Um die Geometrie eines endlichen Bereiches zum Abschluls 
zu bringen, hat man den Begriff des Strahlenbündels in der Weise 
zu erweitern, die wir in VI § 2 dargelegt haben. Der Ausspruch 
der dort gewonnenen Sätze wird besonders einfach, wenn man die 
sogenannten idealen Gebilde einführt. Zwar mufs man, wenn 
man diese Ausdrücke gebraucht, bei Erweiterung des Gebietes 
einige Vorsicht anwenden; das mindert aber nichts an dem In 
teresse, welches die gefundenen Sätze für sich beanspruchen. 
Zugleich führt die Benutzung der idealen Gebilde in ein 
fachster Weise zu einer projektiven Raumform, die deshalb be 
sonders wichtig ist, weil die für einen endlichen Raumteil zu 
Grunde gelegten Annahmen für den Raum als Ganzes möglichst 
ungeändert bleiben. In derselben haben nämlich irgend zwei 
Ebenen eine Gerade und zwei in derselben Ebene gelegenen 
Geraden stets einen Punkt gemein; natürlich kann dann der Raum 
nicht durch eine Ebene zerlegt werden. Diese Raumform wird 
vielfach als die einzige projektive Raumform angesehen. Wenn