Grundbegriffe und Grundsätze der Geometrie. 
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aber zwei Punkte des Körpers in Ruhe gehalten werden, bleiben 
zugleich alle Punkte einer Linie in Ruhe. Diese Linie heilst eine 
Gerade. Bleibt aufser den beiden ersten Punkten noch ein Punkt 
in Ruhe, welcher nicht der durch die beiden ersten Punkte 
gehenden Geraden angehört, so verbleibt der Körper selbst in 
Ruhe.« 
Dies Axiom hat den grofsen Vorzug, dafs man aus ihm alle 
Eigenschaften der geraden Linie ohne Schwierigkeit herleiten 
kann. Dem entgegen darf der kleine Mangel, dafs die Linie nicht 
unmittelbar als Grenze zweier Flächenteile auftritt, doch wohl 
nicht in Betracht kommen. 
13. Es kann unsere Aufgabe nicht sein, jede Erklärung, welche 
über die Gerade und die Ebene gegeben ist, hier zu besprechen. 
Demnach gehen wir auch nicht auf die Erklärung der Ebene als 
einer in sich verschiebbaren und umkehrbaren Fläche ein. Da 
gegen müssen wir einige Worte sagen über die Versuche, welche 
gemacht sind, um die Theorie der Geraden und der Ebene aus 
der des Kreises und der Kugel herzuleiten. Vielfach werden 
folgende Definitionen aufgestellt: 
»Eine Ebene ist der geometrische Ort aller Punkte, welche 
von zwei festen Punkten gleichen Abstand haben.« 
»Konstruiert man um zwei feste Punkte als Mittelpunkte 
jedesmal gleiche Kugeln, so liegen ihre Schnittlinien auf einer 
Fläche, welche als Ebene bezeichnet wird.« 
Um die gerade Linie zu erhalten, geht man wohl von drei 
Punkten aus, die gleichen Abstand von einander haben; man be 
schreibt um diese drei Punkte jedesmal gleiche Kugeln und be 
stimmt ihre Schnittpunkte; diese gehören sämtlich einer geraden 
Linie an. 
Zur Geraden versucht man auch auf folgendem Wege zu 
gelangen. Man betrachtet eine Bewegung, bei der zwei Punkte 
in Ruhe gehalten werden; dann zeigt man, dafs hierbei auf jeder 
Kugel, die einen der beiden Punkte zum Mittelpunkt hat, zwei 
Punkte unbewegt bleiben und dafs alle diese Punkte eine Linie 
bilden. Sobald man auf diese Weise die Gerade eingeführt hat, 
kann man entweder vermittelst einer der zuletzt angegebenen 
Definitionen oder auf dem in 10. mitgeteilten Wege zur Ebene 
gelangen.