Anwendung der Transformations-Gruppen. 
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zwischen zwei Punkten, so wäre bei der Drehung um einen Punkt 
die Lage eines jeden anderen Punktes auf eine Linie beschränkt. 
Demnach läfst die zu der Raumform gehörende Gruppe eine 
einzige Funktion 
Sr J ( x i, x 2, x s; }'i, Ys> Vs) 
zwischen zwei beliebigen Wertsystemen (x t ,x 2 , x 3 ) und (71,72,73) 
ungeändert. Wir wissen aber keineswegs, ob dies die einzige 
wesentliche Invariante der Gruppe ist, oder ob zwischen mehr 
als zwei Wertsystemen noch invariante Beziehungen bestehen, die 
von der angegebenen unabhängig sind. 
5. Es ist jetzt unsere Aufgabe, aus denjenigen Gruppen, in 
denen zwischen zwei Wertsystemen eine invariante Beziehung 
besteht, diejenigen auszuwählen, welche unseren Axiomen genügen. 
Dabei dürfen wir auf die in § 4 gefundenen Resultate zurück 
gehen. Wir müssen nur annehmen, dafs, wofern es mehrere 
Invarianten für unendlich benachbarte Punkte gäbe, doch die dort 
gefundene Form wenigstens für eine unter ihnen gewahrt bliebe. 
c Thun wir dies, so belehrt uns das Schlufsergebnis von § 4, dafs 
die Invariante entweder in der Form U- M« № oder in der Form 
N 
U- e^ M oder in der Form U- Q_ erscheint, wo L, M, N lineare 
Formen der Differentiale sind und Q in ihnen vom zweiten Grade 
ist, und wo die Exponenten X, fi, v auch von den Variabein x l5 
x 2 , x 3 unabhängig sind. Wenn [i = v = 0 ist, so ist die lineare 
Form L = A!dx! + A 2 dx 2 -f- A 3 dx 3 die Invariante. Die Ver 
bindung der Resultate, zu denen wir in § 5, 4 und 5 geführt 
sind, zeigt uns, dafs alsdann bei der Drehung um einen Punkt 
eine durch den ruhenden Punkt gehende Fläche in sich verschoben 
wird. Sind aber zwei der Exponenten X, t u, v oder alle drei von 
null verschieden, so können bei der Ruhe eines Punktes nach 
§ 5, 7 mindestens zwei durch den Punkt gelegte Flächen nur so 
bewegt werden, dafs sie in Deckung mit der Anfangslage ver 
bleiben. Der Fall, dafs diese Flächen reell sind, mufs von vorn 
herein ausgeschlossen werden. Wenn aber für reelle Variabele 
5, Xi, x 2 , x 3 die Differentialgleichung (13) in § 5 für C = 0 nur 
durch komplexe Funktionen befriedigt wird, so müssen diese ein 
ander konjugiert sein; die Flächen, welche durch das Verschwinden 
der einzelnen Bestandteile dargestellt werden, behalten dann ihre