Grundbegriffe und Grundsätze der Geometrie. 
193 
Zunächst dürfen wir daran erinnern, dafs es immer mifslich 
ist, eine einzelne Frage, wie hier die nach der Mefsbarkeit von 
Linien und nach der Existenz der Geraden, abgesondert vom 
ganzen Lehrgebäude der Wissenschaft zu behandeln. Dadurch 
werden Mängel herbeigeführt, die sich bei einer andern Behand 
lungsweise leicht beseitigen lassen. 
Was nun die Bettazzischen Postulate selbst betrifft, so können 
wir nicht billigen, dafs hier von vornherein der Raum als un 
endlich vorausgesetzt wird. Noch weniger gefällt es uns, dafs 
mit dem ganzen System der aus einer krummen Strecke erzeugten 
Strecken operiert wird. Auch läfst sich nicht übersehen, ob die 
aufgestellten Postulate von einander unabhängig sind. 
Jedenfalls mufs die grolse Zahl von Postulaten einiges Er 
staunen erregen. Dem Leser drängt sich unwillkürlich der Ge 
danke auf, es sei wahrscheinlich einfacher, über die Kugel einige 
Voraussetzungen zu machen, mit ihrer Hilfe auf dem Wege, der 
am Schlufs des vorigen Paragraphen angedeutet wurde, die Theorie 
der Geraden zu begründen und alsdann die Messung von be 
liebigen Linien in der Weise herzuleiten, welche in V § 4 (S. 16) 
entwickelt worden ist. Diesen Weg wird man um so lieber 
vorziehen, da auch Bettazzi unter seine Postulate zahlreiche Sätze 
über die Bewegung aufgenommen hat, während die Beliebtheit 
der Definition: »Die gerade Strecke ist der kürzeste Weg zwischen 
zwei Punkten«, wohl hauptsächlich in der Unabhängigkeit von 
der Bewegung begründet ist. 
§ 5. 
Fläche, Linie und Punkt. 
1. Auf die Frage, wie man am geeignetsten die Fläche, die 
Linie und den Punkt definiere, sind wir bereits früher (III § 3. 
B. 1. S. 172) eingegangen. Wir haben dort gesehen, dafs es 
nicht gestattet ist, vom Punkte auszugehen und die Linie durch 
Bewegung eines Punktes, die Fläche durch Bewegung einer Linie 
und den Raumteil durch Bewegung einer Fläche entstehen zu 
lassen. Denn erstens wird uns der Körper und der Raumteil 
durch die Natur gegeben, während der Punkt erst durch Ab 
straktion gewonnen werden kann. Zweitens ist es nicht richtig, 
dafs jede Linie durch Bewegung eines Punktes, jede Fläche durch 
Killing, Grundlagen der Geometrie. II. 13