Anwendung der Transformations-Gruppen. 
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Durch Subtraktion dieser Gleichung von der vorangehenden 
folgt, wenn ich 
r _ yfz dr lQ „ d &\ 
setze, die neue Beziehung: 
ÖX, 
& + 2 
Q q Ö Y9 
0. 
Diese Gleichung zeigt, dafs, wenn zwei infinitesimale Trans 
formationen den Differential-Ausdruck J (x, y) ungeändert lassen, 
die durch ihre Kombination erhaltene Transformation dieselbe 
Eigenschaft hat, dafs also alle der Forderung genügenden Trans 
formationen eine Gruppe bilden. 
Allerdings darf man keineswegs schliefsen, dafs der Invariante 
notwendig eine endliche Transformations-Gruppe genügt. Über 
die Zahl der von einander unabhängigen infinitesimalen Trans 
formationen haben wir nichts bewiesen; diese kann auch unendlich 
grofs sein. 
Auch mufs man sich davor hüten, die Wichtigkeit des letzten 
Satzes zu überschätzen. Legen wir nämlich einen beliebigen 
Differential-Ausdruck zu Grunde, so wird man vielfach keine in 
finitesimale Transformation und darum auch keine Gruppe finden, 
die ihm genügt. Wenn man zu einer Gruppe gelangt, so ist es 
eine seltene Ausnahme, dafs der gewählte Ausdruck ihre einzige 
Invariante ist. Im allgemeinen wird die Gruppe mehrere In 
varianten besitzen, und dann kann der gegebene Differential- 
Ausdruck zwar als Funktion der Invarianten dargestellt werden, 
steht aber zu der Gruppe selbst nur in loser Beziehung. 
§ 4. 
Die Invariante in einem besonderen Falle. 
1. Wir suchen die verschiedenen Formen, welche eine zwischen 
zwei unendlich nahen Wertsystemen bestehende Invariante einer 
transitiven Gruppe unter der Bedingung annehmen kann, dafs es 
zwischen je zwei Wertsystemen nur eine einzige Invariante giebt; 
dabei wollen wir es als zulässig betrachten, dafs zur Gruppe wei 
tere Invarianten gehören, die von der hier zu ermittelnden un 
abhängig sind; nur verlangen wir in diesem Falle, dafs für die