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Achter Abschnitt. § 7. 
Hiermit können wir unsere analytischen Entwicklungen be 
endigen; die dargelegten Sätze genügen für die Anwendungen, 
welche wir im folgenden von der Theorie der Transformations- 
Gruppen machen wollen. 
§ 7. 
Zusammenhang zwischen den allgemeinen Raumformen 
und den Transformations-Gruppen. 
1. Wir haben bereits im vorigen Abschnitt darauf hingewiesen, 
dafs es grofse Schwierigkeit bietet, die Folgerungen aus den dort 
(VII § 11 S. 237) angegebenen Grundsätzen auch nur so weit zu 
verfolgen, dafs wir einen Überblick über alle verschiedenen Raum 
formen gewinnen. Dagegen wird uns die Untersuchung wesentlich 
erleichtert, wenn wir die Analysis für die Theorie der Raumformen 
nutzbar machen können. Wir können daher versucht sein, rein 
axiomatisch vorauszusetzen, dafs es gestattet ist, allen Punkten eines 
n-dimensionalen Raumes eine n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit 
von Zahlgröfsen zuzuordnen und die verschiedenen Lagen desselben 
Körpers durch analytische Formeln darzustellen. 27 ) Da bei diesem 
Verfahren unsere Grundsätze in Kraft bleiben, so sind wir sicher, 
dafs alle Möglichkeiten, zu denen wir alsdann auf analytischem 
Wege gelangen, unsern Grundsätzen genügen. Wir erhalten also 
eine Reihe von allgemeinen Raumformen und gewinnen dadurch 
einen tiefem Einblick in die Theorie, als die blofse Weiterführung 
der am Ende des vorigen Abschnitts begonnenen Untersuchung 
gestattet. Die analytische Darstellung eröffnet uns nämlich mit 
Leichtigkeit ein sehr weites Gebiet, dessen einzelne Systeme im 
uneigentlichen Sinne als Raumformen zu bezeichnen sind. Nach 
dem wir aber den allgemeinen Begriff der Raumformen aufgestellt 
haben, mufs es unsere erste Aufgabe sein, ihn durch zahlreiche 
Beispiele zu erläutern, und die Lösung dieser Aufgabe wird uns 
durch die Anwendung der Analysis überaus leicht gemacht. 
2. Immerhin ist es nicht ohne Interesse, die Frage beant 
worten zu können, ob es Raumformen giebt, die sich der ana 
lytischen Behandlung ganz entziehen. Diese Frage mufs verneint 
werden, sobald es gelingt, in aller Strenge von unseren Grund 
sätzen aus zu einer analytischen Darstellung zu gelangen. Leider