Anwendung der Transformations-Gruppen 
dx_ 
dt " 
dy _ 
dt “ 
y + 
b (x 2 — y 2 ) — 2axy 
x + 
a (x 2 
i 2 + b 2 ’ 
— y 2 ) + 2bxy 
a 2 -j- b 2 
und daraus ergiebt sich weiter: 
d 0 + yi) 
dt 
== — i ( x + yi) + i 
(x + yi) 2 
a —j— bi 
mufs, 
sein 
so ist die 
Tvt ti. 
Da für t = 0 zugleich x = x 0 , y = y 0 
Lösung dieser Gleichung; 
(ii) x + y i = _Ji-TiÖ-G + id) , 
x 0 +y 0 i— [(x„ ~a) + i(y 0 — b)]e 
Hieraus geht hervor, dafs für t = 2jt allgemein x -j- yi = 
x 0 -f- y 0 i, also x = x 0 , y = y 0 wird. Nun lehrt die Glei 
chung (9), dafs dann auch z = z 0 wird, oder dafs alle Punkte 
bei fortschreitender Drehung um zwei beliebige feste Punkte 
gleichzeitig in ihre Anfangslage zurückkehren. Zugleich folgt aus 
der letzten Gleichung, dafs, abgesehen von den Punkten (0, 0, z) 
und (a, b, z) irgend ein Punkt nur dann seine Anfangslage wieder 
einnimmt, wenn e*i = 1 ist. 
Wollte man sich in den Ausdrücken (8) auf die Glieder 
erster Ordnung beschränken, so würde man zu einer Gruppe 
gelangen, die von der soeben beschriebenen wesentlich ver 
schieden ist. 
15. Einiges Interesse dürfte es gewähren, nochmals einen 
Blick auf die allgemeinsten projektiven Umgestaltungen des drei 
dimensionalen Raumes zu werfen. Halten wir einen Punkt fest, 
so können wir jeden zweiten Punkt in alle Lagen bringen mit 
einziger Ausnahme derjenigen, welche der ruhende Punkt ein 
nimmt. Bleibt noch ein zweiter Punkt in Ruhe, so kann ihre 
Verbindungs-Gerade nur noch in sich bewegt werden, dagegen 
kann jeder Punkt, der dieser Geraden nicht angehört, abgesehen 
von dieser Linie an jede Stelle des Raumes gebracht werden. Bei 
der Ruhe dreier nicht in gerader Linie liegender Punkte kann 
die durch sie hindurchgelegte Ebene nur in sich verschoben wer 
den; auch kann in diese Ebene kein Punkt während der Bewegung 
hineinfallen, der ihr nicht in der Anfangslage angehört; aber im 
übrigen ist die Bewegung noch unbeschränkt. Läfst