Anwendung der Transformations-Gruppen. 
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§ P. 
Lies Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie. 
1. Lies Arbeiten 31 ) auf diesem Gebiete bedeuten nach mehreren 
Richtungen hin einen Fortschritt; denn erstens giebt er dem Pro 
blem eine schärfere Fassung, zweitens geht er von einfacheren 
Voraussetzungen aus, und drittens genügt sein Beweis den strengsten 
Anforderungen. Der zu lösenden Aufgabe, die Lie als das Rie- 
mann-Helmholtzsche Problem bezeichnet, giebt er folgenden Aus 
druck; »Es sollen solche Eigenschaften gefunden werden, die 
sowohl der Schar der euklidischen, wie den beiden Scharen von 
nicht-euklidischen Bewegungen zukommen, und durch die diese 
beiden Scharen vor allen anderen möglichen Scharen von Be 
wegungen einer Zahlenmannigfaltigkeit ausgezeichnet sind.« 
Von diesem Problem giebt er zwei Lösungen, von denen 
sich die erste auf unendlich benachbarte, die andere auf endlich 
entfernte Punkte bezieht. Die erste Lösung geht von der Defi 
nition aus: 
»Eine reelle kontinuierliche Gruppe des dreifach ausgedehnten 
Raumes besitzt in dem reellen Punkte P freie Beweglichkeit im 
Infinitesimalen, wenn sie die folgenden Forderungen erfüllt; Hält 
man den Punkt P und ein beliebiges hindurchgehendes reelles 
Linienelement fest, so soll stets noch kontinuierliche Bewegung 
möglich sein; hält man dagegen aufser P und jenem Linien 
elemente noch ein beliebiges reelles Flächenelement fest, das durch 
beide geht, so soll keine kontinuierliche Bewegung mehr möglich 
sein.« 
Dementsprechend charakterisiert Lie die euklidischen und die 
nicht-euklidischen Bewegungen im dreifach ausgedehnten Raume 
durch freie Beweglichkeit im Infinitesimalen, indem er das Theorem 
beweist: 
»Besitzt eine reelle kontinuierliche Gruppe des dreifach aus 
gedehnten Raumes in einem reellen Punkte von allgemeiner Lage 
freie Beweglichkeit im Infinitesimalen, so ist sie sechsgliedrig und 
transitiv und durch eine reelle Punkttransformation dieses Raumes 
ähnlich entweder mit der Gruppe der euklidischen Bewegungen 
dieses Raumes oder mit einer der beiden Gruppen von nicht 
euklidischen Bewegungen dieses Raumes, also im zweiten Falle