Anwendung der Transformations-Gruppen. o47 
a 3 = — Xjyg -f x 2 y 4 -f x 3 yx — x 4 y 2 
a 4 JS x" = xiy 4 x 2 y 3 -j- x 3 y 2 x 4 y x . 
Läfst man also einem festen Wertsystem (x) irgend ein 
Wertsystem (y) entsprechen, welches nur der Bedingung (7) 
genügt, so ergeben sich vermittelst der vorstehenden Gleichungen 
die Koefficienten a* . . . a 4 in der Weise, dafs die Beziehung (5) 
befriedigt wird. Die Untergruppe gestattet demnach, einen Punkt 
(x) in einen Punkt (y) überzuführen, wofern nur für ihre Ko 
ordinaten die Summe der Quadrate denselben Wert besitzt. Jede 
vom Nullpunkt ausgehende Linie kann bei der Ruhe desselben 
noch so bewegt werden, dafs sie einen (vierdimensionalen) Raum 
teil beschreibt. Bei der Drehung um einen Punkt kann man 
somit jedes durch ihn hindurchgelegte Grenzgebilde so bewegen, 
dafs es seine Anfangslage verläfst. Für vier Dimensionen genügt 
es hiernach nicht, vorauszusetzen, dafs bei der Ruhe eines Punktes 
jeder andere Punkt alle Lagen in einem dreidimensionalen Grenz 
gebilde annehmen kann, und dafs kein Grenzgebilde, das durch 
den ruhenden Punkt geht, bei allen Drehungen in Deckung mit 
seiner Anfangslage verbleibt. 
§ ii. 
Rückblick. 
Schon im dritten Abschnitt (ß. 1. S. 176—178) haben wir 
auf Grafsmanns Ausdehnungslehre hingewiesen und in ihr einen 
recht umfassenden Wissenszweig kennen gelernt, der die Geo 
metrie Euklids als speciellen Teil einschliefst und der direkt auf 
die euklidischen Raumformen von einer beliebig hohen Zahl von 
Dimensionen führt, während darin die Riemannschen Raumformen 
ebenfalls ihre Stelle finden. Indem wir den Raumbegriff in der 
jenigen Weise erweitert haben, die in § 10 des siebenten Ab 
schnitts durchgeführt ist, haben wir blofs das zum vollen Abschlufs 
gebracht, was Grafsmann vor mehr als fünfzig Jahren angebahnt 
hatte. 
Indessen beruht die Bedeutung der Ausdehnungslehre haupt 
sächlich in den eigentümlichen Methoden, vermittelst deren es 
ihr möglich wird, nicht nur weite Partieen der Geometrie, sondern 
auch schwierige Probleme der Analysis auf eine einheitliche und 
übersichtliche Weise zu bewältigen. Dennoch gewährt es einiges