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§ 1. Teilung von Ebenenwinkeln. 
ebenso folgt aus den beiden letzten: 
sin (14) sin (IIV) _ sin (I V) 
sin (2 4) sin (IIIV) ' sin (II V) 
Es ist also bis auf das Vorzeichen 
sin (1 3) sin (1 4) sin (IIII) sin (IIV) 
sin (2 3) ’ sin (2 4) sin (IIJII) ’ sin (HIV) 
Da zudem die Doppelverhältnisse (IIIIIIIV) und (12 3 4) in 
ihrem Vorzeichen übereinstimmen, so sind sie gleich. 
6. Durchschneidet man vier Ebenen eines Büschels 
durch eine beliebige Gerade, so ist das Doppelverhält 
nis der vier Schnittpunkte gleich dem der vier Ebenen. 
Die Gerade t treffe die vier Ebenen I, II, III, IV der Reihe 
nach in den vier Punkten A, B, C, D. Durch die Gerade t und 
einen beliebigen Punkt der Kante legt man eine Ebene, durch 
welche aus den gegebenen Ebenen die Geraden 1, 2, 3, 4 aus 
geschnitten werden. Dann ist, wie wir soeben bewiesen haben, 
(1234) = (111111IV). Nach I§ 1,6 ist aber auch (1234) = (ABCD); 
also ist auch das Doppelverhältnis der vier Ebenen I, II, III, IV 
gleich dem der vier Punkte A, B, C, D. 
7. Hiernach kann man, von vier Punkten A, B, C, D einer 
Geraden ausgehend, beliebig viele Quadrupel konstruieren, deren 
Doppelverhältnisse gleich dem der vier gegebenen Punkte sind. 
Man kann z. B. durch eine beliebige Gerade g, welche nicht mit 
der Geraden AB in einer Ebene liegt, vier Ebenen hindurchlegen, 
von denen je eine einen der gegebenen Punkte enthält. Diese 
Ebenen darf man wieder durch eine fünfte Ebene oder eine be 
liebige gerade Linie durchschneiden; man erhält dadurch vier 
Ebenen, vier Gerade und vier Punkte; das durch vier gleichartige 
Gebilde bestimmte Doppelverhältnis ist gleich dem der gegebenen 
Punkte. 
8. Sind drei Punkte A, B, C in gerader Linie gegeben, so 
wird das Verhältnis AG : CB seinem absoluten Betrage nach auch 
erhalten, wenn man durch C eine beliebige Ebene legt und auf 
dieselbe von A und B aus die Senkrechten AA' und BB' fallt; 
abgesehen vom Vorzeichen ist das Verhältnis AG : CB auch gleich 
dem Quotienten AA' : BB'. 
Bei vier in gerader Linie liegenden Punkten A, B, C, D 
kann man durch die Punkte C und D zwei beliebige Ebenen