§ 1. Teilung von Ebenenwinkeln. 
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ge Ebenen 
legen und von A und B auf die erste Ebene die Senkrechten 
AA' und BB', und auf die zweite die Senkrechten AA" und BB" 
fällen; dann ist das Doppelverhältnis 
(ABCD) = ± g-g,- 
AA" 
BB' 
Übungen. 
1) Zwei beliebige Ebenen liegen harmonisch zu den beiden 
Ebenen, durch welche die von ihnen gebildeten Winkel halbiert 
werden. 
2) Vier durch einen Punkt O gehende Strahlen a, b, c, d, 
von denen keine drei in einer Ebene liegen, bestimmen ein voll 
ständiges Vierkant; indem man je zwei Kanten durch eine Ebene 
verbindet, erhält man die sechs Seiten des Vierkants; die Schnitt 
linie von je zwei gegenüberliegenden Seiten wird eine Diagonal 
kante genannt; das Vierkant hat drei Diagonalkanten. 
a) Irgend zwei Diagonalkanten liegen harmonisch zu den 
Schnittlinien ihrer Verbindungsebene mit denjenigen beiden Seiten, 
welche durch die dritte Diagonalkante gehen. 
b) Irgend zwei Kanten liegen harmonisch zu der in ihrer 
Verbindungsebene liegenden Diagonalkante und derjenigen Geraden, 
in welcher diese Ebene von der Verbindungsebene der beiden 
andern Diagonalkanten geschnitten wird. 
3) Irgend vier Punkte einer Kugelfläche, von denen keine 
drei in einem Hauptkreise liegen, bestimmen ein vollständiges 
sphärisches Viereck; jeder Hauptkreis, der zwei dieser Punkte 
verbindet, heifst eine Seite, und jeder Schnittpunkt von zwei 
Gegenseiten ein Diagonalpunkt des Vierecks. Das Viereck hat 
sechs Seiten und sechs Diagonalpunkte; aber die letzteren ordnen 
sich zu drei Paaren von Gegenpunkten. Mit Hilfe der Übung 2) 
übertrage man die in I § 7 (S. 46) für das vollständige Viereck 
der Ebene bewiesenen Sätze auf die Kugel. 
4) Irgend vier Hauptkreise einer Kugel, von denen keine drei 
durch denselben Punkt gehen, bilden ein vollständiges sphärisches 
Vierseit. Dasselbe enthält zwölf Eckpunkte, welche sechs Paare 
von Gegenpunkten bilden, und drei Diagonalen. Man beweise 
den Satz, dafs jede Diagonale eines vollständigen sphärischen 
Vierseits durch die andern beiden Diagonalen harmonisch geteilt 
wird.