§ 27. Projektivität und Metrik. 
247 
Zwar überzeugt er sich allmählich, dafs auch die neuen Koordi 
naten ein ganz geeignetes Werkzeug zur Untersuchung des Raumes 
abgeben; auch mufs die Symmetrie der Formeln ihn bald die 
neue Behandlungsweise liebgewinnen lassen; namentlich mufs er 
bald das Übergewicht der neuen Methode in den allgemeinen 
Resultaten erkennen, die jedesmal durch Specialisierung zu einer 
grofsen Reihe von Einzelsätzen führen. Dennoch wird der Anfänger 
vielleicht nicht so bald zur vollen Klarheit über den wahren Grund 
für die Einführung dieser Koordinaten kommen. Dieser liegt 
darin, dafs die Cartesischen Koordinaten die unendlichferne Ebene 
vor den übrigen Ebenen bevorzugen und daher in alle rein pro 
jektiven Untersuchungen ein fremdes Element hineinbringen, das 
erst nachträglich wieder entfernt werden mufs. Die projektiven 
Eigenschaften können nur dann auf direktem Wege erhalten wer 
den, wenn man Tetraeder-Koordinaten benutzt. 
Überhaupt darf man folgende Regel aufstellen. Wenn man 
die Projektivität vermittelst der Analysis behandeln will, so ge 
braucht man am besten Tetraeder-Koordinaten. Wenn man aber 
umgekehrt auf alle metrischen Eigenschaften Rücksicht nehmen 
will, so eignet sich vor allem das rechtwinklige Koordinatensystem 
Descartes’; der Übergang von einem solchen System zu einem 
andern derselben Art läfst sogar, falls man auch dieselbe Längen 
einheit zu Grunde legt, alle metrischen Eigenschaften ungeändert. 
Zuweilen will man aber nur einzelne Eigenschaften der Metrik 
beachten und andere unberücksichtigt lassen; dann kann es von 
Vorteil sein, andere Koordinaten zu benutzen. Wenn es sich 
z. B. nur um die Längen von Strecken, aber nicht um die Gröfse 
der Winkel handelt, so gewährt der Gebrauch schiefwinkliger 
Cartesischer Koordinaten zuweilen beträchtlichen Nutzen; in dieser 
Hinsicht sei an § 19 erinnert, wo wir mit Hilfe schiefwinkliger 
Koordinaten die einzelnen Arten von Flächen zweiter Ordnung 
leicht charakterisieren konnten. 
Die Projektivität ist nicht nur an sich wichtig, sondern ge 
währt auch der Metrik viele Vorteile. Schon der Umstand ist 
nicht gering anzuschlagen, dafs metrische Sätze vielfach aus rein 
projektiven durch blofse Specialisierung hergeleitet werden. Die 
Theorie vom Mittelpunkte und den konjugierten Durchmessern 
einer Fläche zweiter Ordnung bildet nur einen ganz speciellen