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§ 27. Projektivität und Metrik. 
Fall der allgemeinen Polareigenschaften, Der Cylinder erscheint 
nur als ein Kegel, dessen Scheitel in die unendlichferne Ebene 
gerückt ist; die Eigenschaften des Cylinders bedürfen keiner ge 
sonderten Herleitung, sondern ergeben sich unmittelbar aus denen 
des Kegels. Dadurch wird nicht nur eine bedeutende Verein 
fachung herbeigeführt, sondern es erhält auch jeder Satz seine 
richtige Stelle im System der Wissenschaft. Vielleicht noch gröfser 
ist aber der Vorteil, den die Projektivität der Geometrie dadurch 
gewährt, dafs sie für rein metrische Probleme die geeignetsten 
Methoden angiebt; indem sie metrische Fragen ihres speciellen 
Charakters entkleidet und allgemeinen Principien unterordnet, zeigt 
sie den einfachsten und natürlichsten Weg zu ihrer Beantwortung. 
In den beifolgenden Übungen sind bereits einige Probleme 
der Metrik angegeben, die sich an frühere Untersuchungen in 
einfacher Weise anschliefsen. Die folgenden Paragraphen sollen 
dann solche Probleme dieser Art behandeln, welche weitläufigere 
Erörterungen notwendig machen. Überall wollen wir uns aber 
bemühen, die Beziehung zur Projektivität deutlich hervortreten zu 
lassen. 
Übungen: 
1) a) Der geometrische Ort des Punktes, für den das Pro 
dukt der senkrechten Abstände von zwei Seitenflächen eines 
Tetraeders zu dem Produkte der Abstände von den beiden andern 
Seitenflächen in einem gegebenen Verhältnisse steht, ist eine 
Fläche zweiter Ordnung. 
(Man betrachte in der Gleichung x 1 x 2 =jcx 3 X4 die Koordi 
naten als die senkrechten Abstände von den gegebenen Ebenen.) 
b) Alle Flächen, welche man auf dem angegebenen Wege 
dadurch erhält, dafs man nur das Verhältnis sich ändern läfst, 
gehören einem Büschel an, dessen Grundkurve durch ein wind 
schiefes Viereck gebildet wird. 
c) Diejenigen Ebenen, für welche das Produkt der Abstände 
von zwei gegebenen Punkten zum Produkte der Abstände von 
zwei andern festen Punkten in einem gegebenen Verhältnisse 
steht, umhüllen eine Fläche zweiter Ordnung. 
d) Die unter a) und c) angegebenen Flächen werden identisch, 
falls die vier Punkte die Eckpunkte des von den vier Ebenen