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§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
so ist stets K — PA . PB, wo das Produkt der rechten Seite für 
einen Innenpunkt wegen der entgegengesetzten Richtung von PA 
und PB einen negativen Wert hat. Dies Produkt nennen wir 
die Potenz des Punktes in Bezug auf die Kugel. Die Gleichung 
des Ebenenpaares liefert uns unmittelbar den Satz: 
Alle Punkte, für welche zwei Kugeln gleiche Po 
tenzen haben, liegen in einer Ebene, der Potenzebene 
der Kugeln. Diese Ebene schneidet die Kugeln in dem 
selben Kreise. 
7. Wir betrachten vier Kugeln Kt = 0, K 2 = 0, K 3 = 0, 
K 4 = 0. In den sechs Gleichungen K« — K^ = 0 trennen wir 
den Faktor x 4 — 0 ab und betrachten nur die durch den andern 
Faktor dargestellte Ebene 77«/?, die Potenzebene der Kugeln K« 
und K^. Dann erkennen wir unmittelbar, dafs die drei Ebenen 
Hi2j 77 !3 , 77 23 durch die Gerade Kt = K 2 = K 3 hindurchgehen, 
und dafs sich die sechs Potenzebenen /7, 2 , 77 13 , 77 14 , 77 23 , 77 24 , 
77 34 in dem Punkte K x = K 2 — K 3 = K 4 schneiden. 
8. Zu dem Kugelkreis gelangt man auch, wenn man die 
Kugel als Fläche zweiter Klasse betrachtet. In Ebenenkoordinaten 
nimmt nämlich die Gleichung der Kugel die Form an: 
(au 4 + bu 2 + cUg + u 4 ) 2 — r 2 (u 2 + u| + u 2 ) = 0. 
Diese Gleichung erhält man entweder, indem man auf die 
Gleichung (8) die Vorschrift von § 20, 8 (S. 158) anwendet, oder 
indem man die Gleichung (1) beiderseits quadriert und auf der 
rechten Seite den Faktor eins durch u 2 + u 2 -f- u| ersetzt. 
Zwei konzentrische Kugeln bestimmen eine Flächenschar, 
deren Gleichung in der Form geschrieben werden kann: 
( au i 4~ bu 2 -f- cu 3 -P u 4 ) 2 -f- X (u 2 -f" u 2 -f- u|) = 0. 
Alle Flächen der Schar sind wieder Kugeln; zu ihnen gehört 
der gemeinschaftliche Mittelpunkt als Doppelpunkt und die Fläche 
(10) uf -p u| + u 2 = 0 
als eine Grenzfläche. Die letztere ist von der Wahl des Mittel 
punktes unabhängig. In Punktkoordinaten wird dieser Kegelschnitt 
durch die beiden Ebenen 
x 4 = 0, xf +x| 4- x 2 =0 
dargestellt; er ist also der imaginäre Kugelkreis.